Электротехника \ Теоретические основы электротехники

Применение метода наложения к расчету электрических цепей с двумя и более источниками энергии. Метод узловых потенциалов (узловых напряжений) (главы 3-5 учебного пособия "Теоретические основы электротехники в примерах и задачах"), страница 2

О т в е т: , .

Рис. 4.7. Рис. 4.8.

Задача 4.6. Методом контурных токов определить токи в ветвях цепи (рис. 4.9).Дано: , , , , , , . Положительные направления токов указаны на схеме.

О т в е т: , , , ,

Задача 4.7. Методом контурных токов определить токи в ветвях цепи (рис. 4.10), если , , , , , , .

О т в е т: , .

Рис. 4.9. Рис. 4.10.

Задача 4.8. Методом контурных токов определить показания амперметров установленных в ветвях цепи, схема которой приведена на рис.4.11. Дано: , , , , , .

О т в е т: , .

Задача 4.9. Методом контурных токов рассчитать указанные в схеме (рис. 4.12) токи, если , , , , , , , .

О т в е т: , , , ,

, , , .

Рис. 4.11. Рис. 4.12.

5. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ (УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ)

Метод узловых потенциалов это метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимаются потенциалы (напряжения) узлов схемы. Использование метода позволяет сократить количество составляемых уравнений по отношению к расчету при непосредственном применении законов Кирхгофа.

Задача 5.1.

Определить токи в ветвях цепи (рис. 5.1) методом узловых потенциалов, если , , ,, , , , , .

Рис. 5.1. Рис. 5.2.

Решение

1. Схема (рис. 5.1) содержит пять ветвей (), три узла ().

2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи по методу узловых потенциалов определяется числом уравнений по первому закону Кирхгофа и равно двум:

Примем потенциал одного из узлов, например узла 1 (рис.5.2), равным нулю ().

3. Расчетные уравнения для определения потенциалов и

(узел 2, 3) будут иметь вид:

4. После подстановки в систему числовых значений имеем

5. Решая систему относительно неизвестных потенциалов и , находим

, .

6. Зададим произвольное направление токов в ветвях схемы (рис.5.2). По закону Ома для участка цепи, считая, что ток направлен от узла с большим потенциалом к узлу с меньшим потенциалом, выражаем токи:

;

7. Проверка решения. Проверку решения выполним, составив уравнение по второму закону Кирхгофа для внешнего контура:

Подставляя числовые значения в уравнение, получим:

Задача 5.2.

Для схемы, представленной на рис. 5.3, пользуясь методом узловых потенциалов, определить все токи. Дано: , , , , , , , , , , , .

Рис. 5.3.

Решение.

1. Схема (рис. 5.3) содержит восемь ветвей (), из которых шесть ветвей с неизвестными токами, четыре узла (), две ветви с источниками тока ().

2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи равно трем

Потенциал узла 1 (рис. 5.4) примем равным нулю ().

Рис. 5.4.

3. Система уравнений для определения потенциалов , и (узлы 2, 3 и 4) согласно рис. 5.4 будет иметь вид:

4. Для расчета приведем систему к матричной форме:

5. После подстановки числовых значений получим

6. Решением матричного уравнения будут потенциалы узлов

; ; .

7. Зададим направление токов в ветвях схемы, как указано на рис. 5.4 и выразим токи:

;

8. Проверка решения. Проверку решения выполним по первому закону Кирхгофа, например, для узла 1:

Задача 5.3.

Методом узловых потенциалов определить токи во всех ветвях схемы, изображенной на рис. 5.5. Заданы , , , , , , .

Рис. 5.5. Рис. 5.6.

Решение.

1. Схема (рис. 5.5) содержит семь ветвей (), четыре узла (), одна ветвь с источником тока ()

В цепи имеется ветвь с источником ЭДС , не содержащая сопротивления () т.е. с нулевым сопротивлением.

2. Общее число уравнений для расчета цепи по методу узловых потенциалов при наличии ветви с источником ЭДС, не содержащей сопротивления, равно двум

Примем потенциал узла 1 (рис. 5.6) равным нулю ().

П р и м е ч а н и е: Целесообразно принять равным нулю потенциал одной из узловых точек ветви с источником ЭДС с нулевым сопротивлением.

Тогда потенциал узла 2 имеет значение напряжения, равное , т.е. (рис. 5.6).

3. Расчетные уравнения для потенциалов оставшихся узловых точек (узлы 3, 4) будут иметь следующий вид:

4. Подставив в систему числовые значения, получим

5. Решение системы относительно неизвестных потенциалов позволяет получить

, .

6. Зададим направления токов в ветвях цепи, как указано на рис.5.6. По закону Ома выразим токи:

;

Ток в ветви с источником найдем по первому закону Кирхгофа для узла 1 (рис. 5.6):

7. Проверка решения. По второму закону Кирхгофа для внешнего контура цепи (рис. 5.6) запишем:

После подстановки числовых значений получим:

Задача 5.4.

Вычислить токи в ветвях схемы, рис. 5.7, методом узловых потенциалов, если , , , , , , .

Рис. 5.7. Рис. 5.8.

Решение.

1. Схема (рис.5.7) содержит четыре ветви (), два узла (), одна ветвь с источником тока ().

Рассматривая частный случай схемы с двумя узлами, воспользуемся для расчета методом двух узлов.

2. Потенциал узла 2 (рис. 5.8) примем равным нулю (). Тогда напряжение между узлами 1 и 2 найдем как

3. Направление токов в ветвях цепи зададим в соответствии с указанными на рис. 5.8, тогда

;

7. Проверка решения. По первому закону Кирхгофа для узла 2 запишем:

Задача 5.5.

Определить показание вольтметра установленного в схеме (рис.5.9), если , , , , , , , . Внутреннее сопротивление вольтметра принять равным . Расчет цепи выполнить по методу узловых потенциалов.

Рис. 5.9.

Решение.

Показание вольтметра определим, как разность потенциалов узловых точек 3 и 2 в местах его подключения: .

1. Определим потенциалы и узловых точек 2 и 3. Схема содержит шесть ветвей (), четыре узла (), одна ветвь содержит источник тока ().

2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи методом узловых потенциалов равно трем

Потенциал узла 4 (рис. 5.9) примем равным нулю ().

3. Система уравнений для определения неизвестных потенциалов , и узловых точек 1, 2 и 3 будет иметь вид:

4. Приведем систему к матричной форме:

5. Подставив в систему числовые значения заданных параметров элементов цепи, получим:

6. Из решения системы получим

, .

7. Показания вольтметра найдем как разность потенциалов узловых точек 3 и 2:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.6. Методом узловых потенциалов рассчитать напряжения узловых точек, указанных на схеме (рис. 5.10), и рассчитать все токи, если , , , , , , , . Потенциал узловой точки 1 принять равным нулю ().

О т в е т: потенциалы узлов , , ;

токи , , , , , .

Задача 5.7. Для схемы (рис. 5.11), пользуясь методом узловых потенциалов, определить все токи. Дано , , , , , .

О т в е т: , , , , .

Рис. 5.10. Рис. 5.11.

Задача 5.8. Методом узловых потенциалов найти токи в цепи, схема которой изображена на рис. 5.12, если , , , , , .

О т в е т: , , , , , .

Задача 5.9. Для схемы приведенной на рис. 5.13, пользуясь методом узловых потенциалов, определить все токи. Дано: , , , , , .

О т в е т: , , , .

Рис. 5.12. Рис. 5.13.

Задача 5.10. Методом узловых потенциалов найти токи в схеме цепи (рис. 5.14), если , , , , , , , , . Потенциал узловой точки 4 принять равным нулю ().