Система уравнений Кирхгофа. Метод контурных токов. Упрощение схемы («Треугольник» в «Звезду») и расчет токов методом узлового напряжения

                                                                                                                                                                                         РГР 1

                                                                                                   № 715

Nk = 2

E1 = 100 В

E2 = 300 В

R1 = 30 Ом

R2 = 40 Ом

R3 = 20 Ом

R4 = 18 Ом

R5 = 26 Ом

R6 = 50 Ом

Рис.1

1. Система уравнений Кирхгофа

По 1-му закону Кирхгофа (для узлов 1,2,4)

По 2-му закону Кирхгофа (для контуров I,II,III)

2. Метод контурных токов

Получаем следующую систему линейных уравнений в матричной форме:

106   26   -50        I1k           100

 26    84    18        I2k    =     300

-50    18    88        I3k             0

Для решения системы применяем метод Крамера:

Находим главный определитель матрицы R:

           106  26   -50

D  =     26   84    18    =  106*(84*88 - 18*18) - 26*(26*88 + 18*50) - 50*(26*18 + 84*50) = 432920

           -50   18    88

Находим определитель 1-го алгебраического дополнения:

              100   26   -50

D11  =   300   84    18    =  100*(84*88 - 18*18) - 26*(300*88 - 0*18) - 50*(300*18 - 0*84) = -249600

                0     18    88

Находим определитель 2-го алгебраического дополнения:

              106   100   -50

D22  =    26    300    18    =  106*(300*88 - 0*18) - 100*(26*88 + 18*50) - 50*(26*0 + 300*50) = 1729600

              -50     0       88

Находим определитель 3-го алгебраического дополнения:

              106   26   100

D33  =    26   84    300    =  106*(84*0 - 300*18) - 26*(26*0 + 300*50) + 100*(26*18 + 84*50) = -495600

              -50   18      0

Находим контурные токи

I1 = I1k = D11/D =  - 249600/432920 = -0.577 А

I2 = I2k = D22/D = 1729600/432920 = 3.995 А

I3 = I3k = D33/D =  - 495600/432920 = -1.145 А

Теперь, по 1-му закону Кирхгофа определим остальные токи:

I4 = I2 + I3 = 3.995 - 1.145 = 2.85  А

I5 = I1 + I2 = -0.577 + 3.995 = 3.418  А

I6 = I1 – I3 = -0.577 + 1.145 = 0.568  А

3. Упрощение схемы ( «Треугольник» в «Звезду» )  и расчет токов методом узлового напряжения

 

                                                                                                                

Рис.2

Вернемся к рис.1 и найдем остальные токи, выразив их из уравнений по 2-му закону Кирхгофа:

4. Ток (I2) методом эквивалентного генератора

a) Находим Rэкв

 

б) Находим Eэкв )

                                                                                

 

Составим по 2-му закону Кирхгофа ур-е для контура 2 и выразим из него U41 = Eэкв :

 

 

5. Баланс мощностей