Нескінченно-спадаюча геометрична прогресія із знаменником q<1: Конспект уроку з алгебри

Тема:Нескінченно-спадаюча геометрична прогресія із знаменником      

Виклад нового матеріалу

На попередніх заняттях , ми одержали формулу суми n-перших членів геометричної прогресії, в якій . Вона має такий вигляд:

Сьогодні на уроці ми дізнаємось як знайти суму нескінченно-спадної геометричної прогресії при <1

Візьмемо довжину відрізка АВ рівну двом одиницям

                                 А                                                    

При цьому візьмемо т. — середину відрізка АВ, потім т.— середину, потім т.  —середину  і так далі.

Розглядаючи даний малюнок, ми можемо зробити деякі висновки, а саме:

 =1;

=;

, і так далі.

Тобто довжини відрізків  і так далі утворюють нескінченну геометричну прогресію знаменник якої рівний :

Знайдемо суму n-перших членів цієї прогресії:

Глянемо на дріб , при збільшенні числа доданків n значення дробу прямує до нуля.

Наприклад: якщо n=20, то

Тобто число вже на даний момент дуже маленьке, а якщо взяти n=100, або n=1000, то практично даний дріб буде рівний нулю.Тому при необмеженому збільшенні n різниця  становиться як завгодно близьким до 2 або, як кажуть, наближається до 2.

Таким чином:сума n первих членів геометричної прогресії 1;при необмеженому збільшенню n прямує до числа 2.

Число 2 називають сумою нескінченної геометричної прогресії 1; і записують:

Якщо цю рівність пояснити геометрично, томи переконуємось що сума довжин відрізків … дорівнює довжині відрізка АВ.

        Візьмемо тепер довільну геометричну прогресію: … у якої .

        Візьмемо вже знайому нам формулу суми n первих членів прогресії:

Перетворимо праву частину рівності:

Можна довести що, якщо , то при необмеженому збільшенні n множник прямує до нуля, значить прямує до нуля і дріб .При цьому сума  прямує до числа .Число називають сумою нескінченної геометричної прогресії, у якої.

            Це записують так:

Позначивши суму прогресії  буквою S , одержимо формулу .

            Приклад: Знайдемо суму нескінченної геометричної прогресії:

15; -3; ;…

В даному випадку , значить умова  виконується:

За формулою одержімо:

Відповідь:  .

        Нам відомо, що кожне раціональне число , де m – ціле число, а n – натуральне, можна подати у вигляді нескінченного дисятичного дробу, шляхом ділення чисельника на знаменник.

        Покажемо на прикладі, як з допомогою формули суми нескінченної геометричної прогресії можна подати нескінченний десятичний періодичний дріб у вигляді відношення .

Приклад: Представити нескінченний дисятковий періодичний дріб  у вигляді звичайного дробу.

Представимо дріб  у вигляді суми:

=0.18+0.0018+0.000018+…

Доданки в правій частині рівності — члени геометричної прогресії, у якої перший член рівний 0,11, а знаменник рівний 0,001 ,тобто умова  виконується. Знайдемо суму цієї прогресії:

.

Домашнє завдання

№ 420 (б; є)

1)  Перевірити , що ,і якщо це так знайти суму:

        б)

Розв’язання

, тоді

Відповідь:.

        е)

q=

Відповідь: .