Решение дифференциального уравнения различными методами, доступными SIMULINK

Файл Модели\САМРаботы02\САМ06а.doc       5 стр.          200 Кбайт

1. Решение дифференциального уравнения различными методами, доступными SIMULINK.

Пример 7.

Пусть, к примеру, требуется решить линейное дифференциальное уравнение второго  порядка с правой частью

.                                                               (П7.01)

При использовании SIMULINK это уравнение можно решить несколькими способами.

Первый способ решения.

а) Разрабатывается блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения  модулей Gain раздела Linear. Начнем с того, что разрешим его относительно второй производной

                                                           (П7.02)

Полученное решение в модулях  SIMULINK можно изобразить в виде

   Рис. П7.1 Блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения  модулей Gain[1].

Для решения уравнения нами использованы 2 интегратора, 1 сумматор и 2 усилителя из раздела Linear  библиотеки SIMULINK.

Вторая производная, согласно П7.02, должна получится путем вычитания из y₀ равного 6/12, производных, умноженных на соответствующие коэффициенты.

Вид и значение параметров решения можно наблюдать на экране блока  Scope раздела Sinks [siŋks - получатели] «y(t)».

b) Блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения блоков Constant раздела Sources библиотеки SIMULINK и организации решения правой части уравнения в виде подсистемы.

Решение левой части уравнения по-прежнему представим в виде цепочки двух интеграторов, соединенных последовательно.

Для решения правой части уравнения соберем из модулей SIMULINK блок-схему и преобразуем ее в подсистему.

   Рис. П7.2.  Блок-схема решения правой части уравнения.

Составим блок-схему решения уравнения с использованием подсистемы.

   Рис. П7.3. Блок-схема решения с использованием в качестве задатчиков коэффициентов уравнения модулей Constant[2].

Второй способ решения.

Используя SIMULINK, можно представить  другой способ решения этого уравнения. Решение можно получить, используя модуль Transfer Fcn [‘trænsfə: Fkn]  (Передаточное звено). В качестве входного сигнала будем использовать блок Constant раздела Sources [so:s - источники]

   Рис. П7.4. Решение уравнения с использованием типовых структурных схем[3].

Вид и значение параметров решения можно наблюдать на экране блока  Scope раздела Sinks [siŋks - получатели] «Интеграл».

Третий способ решения.

SIMULINK может предложить еще один способ решения данного дифференциального уравнения. Воспользовавшись методами структурных преобразований, данное уравнение можно представить в виде структурной схемы, состоящей из типовых модулей.

   Рис. П7.5. Решение уравнения с использованием структурных преобразований[4].

Пример 8.

Проведем исследование дифференциального уравнения 2 порядка

                                                          (П8.01)

методами фазовой плоскости, используя возможности SIMULINK.

Начнем с того, что разрешим уравнение относительно старшей производной.

                                                           (П8.02)

где a₁ = 2e/T;  a₀ = 1/T²;  x₁(t) = x(t)/T².

Решение левой части уравнения представим в виде цепочки из двух интеграторов соответственно настроенных.

Для решения правой части уравнения создадим 2 подсистемы. Одну для формирования значений коэффициентов уравнения, разрешенного относительно старшей производной и вторую для решения собственно правой части уравнения.

   Рис. П8.1 Блок-схема формирования коэффициентов уравнения.

   Рис. П8.2. Решатель правой части уравнения.

Решение дифференциального уравнения с учетом созданных подсистем будет иметь вид

   Рис. П8.3. Блок-схема решения дифференциального уравнения[5].

Исследование фазового портрета.

Для наблюдения за фазовыми траекториями включим в качестве смотрового окна в блок-схему решения уравнения рис. П7.3  дополнительно модуль XY Graph из раздела Sinks библиотеки SIMULINK.

Сущность метода фазовой плоскости  заключается в построении фазовых траекторий по дифференциальным уравнениям в системе координат: ось x - значение исследуемой величины u, ось y – скорость ее изменения  du/dt. Процесс изменения траектории представляет собой движение изображающей точки на фазовой плоскости. Начальные условия определяют первоначальное положение изображающей точки на фазовой плоскости. Совокупность фазовых траекторий в плоскости (x, y) носит название фазовый портрет. Подробнее с методами фазовой плоскости можно ознакомиться по «Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. Учебник для вузов. Изд. 4-е, перераб. и доп. М., «Машиностроение», 1978. Стр. 485-495».

Задачей нашего исследования является построение некоторых наиболее характерных фазовых портретов.

Рассмотрим следующие случаи характерные для уравнения 2 порядка:

▪  e = 0; 0 < e < 1; -1 < e < 0;

▪  e > 1; e < -1; e = 0.

Кроме этого рассмотрим, как будут изменяться фазовые траектории при изменении начальных условий.

На этом знакомство с методами решения дифференциальных уравнений в среде SIMULINK будем считать законченным.