Исследование плоскопараллельного потенциального поля

Петербургский Государственный Университет Путей Сообщения

Исследование плоскопараллельного потенциального поля

Методические указания к лабораторной работе

Санкт-Петербург

2003

Цель работы  -ознакомление с методом моделирования электростатического поля полем в проводящей среде.

1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Поле в диэлектрике в области, где нет свободных зарядов и поле в проводящей среде в области, где нет сторонних ЭДС, описываются одним и тем же уравнением Лапласа.

Так как решение уравнения Лапласа при заданных граничных условиях является единственным, то при одинаковых граничных условиях в диэлектрике и в проводящей среде распределения потенциалов будут одинаковыми. Это обстоятельство положено в основу моделирования электростатических полей полями в проводящих средах. Такое моделирование, как экспериментальный   метод исследований, используют в тех случаях, когда задачу не удается решить аналитически (например, при сложной конфигурации проводников и диэлектриков).

В работе рассмотрены 2 случая

1-й – моделирование поля системы, для которой известно аналитическое решение (поля между двумя цилиндрами);

2-й – моделирование поля, аналитическое решение которого неизвестно

Исследование поля двух параллельных цилиндров одинакового радиуса

Аналитический расчет поля двух параллельных цилиндров одинакового радиуса приведен в курсе ТОЭ и сводится к следующему. Поле двух цилиндров исследуется на основе рассмотрения поля двух заряженных осей, так как поверхности параллельных цилиндров можно считать поверхностями равного потенциала двух заряженных осей, находящихся внутри цилиндров. Положение осей с линейной плотностью заряда + τ и – τ (рис.1) определяется с помощью формулы :

Где х₀ – расстояние между центром цилиндра (например, О₁) и соответствующей заряженной осью (+ τ)

С – расстояние между центрами цилиндров О₁ и О₂;

r – радиус цилиндров.

Потенциал в произвольной точке М в поле двух заряженных осей равен:

где ε_а = 8,85 ^. 10^-12 Ф/м – диэлектрическая проницаемость воздуха,

      - отношение рассояний от заряженных осей до точки М (см. рис. 1).

Разность потенциалов между двумя произвольными точками М₁ и М₂ в рассматриваемом поле составляет:

Чтобы приращение потенциала при переходе от одной линии равного потенциала к соседней оставалось постоянным, должно соблюдаться условие:

При известных потенциалах цилиндров

и выбранном приращении потенциала ΔU поле двух проводящих цилиндров рассчитывается в следующем порядке.

1.   По формуле (2) вычисляется τ. Для определения k и U берется точка А на поверхности левого цилиндра (см. рис. 1):

2. По выбранному приращению потенциала ΔU по формуле (4) вычисляется N и далее коэффициенты k для каждой из последующих линий равного потенциала: