Математика \ Высшая математика

Первообразная функция и неопределенный интеграл, страница 2

Отметим, что неопределенный интеграл даже от элементарной функции может не быть элементарной функцией, тогда как операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций, т.е. производная любой элементарной функции представляет собой тоже элементарную функцию. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут служить следующие интегралы:

1. ,	2. ,	3. ,
4. ,	5. ,	6. .

Такие интегралы обычно называют «неберущимися». Однако это не означает, что такие интегралы (первообразные) не существуют. Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию, которую нельзя выразить при помощи элементарных функций. Более того, указанные функции не только реально существуют, но и играют большую роль в различных приложениях. Так, например, интеграл 1, называемый интегралом Пуассона или интегралом ошибок, широко используется в теории вероятностей и математической статистике.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими функциями, которые интегрируются в элементарных функциях, т.е. их первообразные есть элементарные функции.

1.4. Табличные интегралы

Суть различных методов интегрирования состоит в том, чтобы при помощи различных преобразований подынтегрального выражения, используя свойства интегралов, свести исходные интегралы к уже известным интегралам. Набор таких известных интегралов можно получить, если переписать наоборот таблицу производных основных элементарных функций. В результате, можно получить следующую таблицу неопределенных интегралов:

1. ,	6. ,
2. , ,	7. ,
2а. ,	8. ,
2б. ,	9. ,
2в. ,	10. ,
3. ,	11. ,
4. ,	12. ,
4а. ,	13. ,
5. ,	14. .

Сделаем замечания в отношении формул 3, 13 и 14. Формула 3 справедлива для любых значений . В самом деле, если u>0, то , если u<0, то . Формулы 13 и 14 занимают исключительное положение в таблице, ибо эти формулы не имеют аналогов в таблице производных. Однако в справедливости этих равенств можно убедиться, продифференцировав их правые части.

Приведенные здесь интегралы называются табличными. В справедливости приведенных равенств можно убедиться при помощи дифференцирования этих равенств. В дальнейшем, мы будем пытаться свести любой интеграл к табличному. Однако для этого нужно знать свойства неопределенных интегралов, вытекающие непосредственно из определения первообразной.

1.4. Свойства неопределенных интегралов

Свойство 1. .

Свойство 2. .

Свойство 3. .

Эти свойства непосредственно вытекают из определения производной. Действительно

Из данных свойств следует, что интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.

Следующие два свойства обычно называют линейными свойствами интеграла:

Свойство 4. .

Свойство 5. , где C = const.

Чтобы доказать эти свойства, нужно взять производную от обеих частей данных равенств и сравнить их. Подчеркнем, что рассматриваемые равенства имеют условный характер: их следует понимать как равенства двух множеств. Это означает, что данные равенства справедливы с точностью до произвольной постоянной.

Зная свойства интегралов и проводя элементарные преобразования подынтегрального выражения, можно легко свести некоторые интегралы к табличным. Вычисление интегралов, которые легко сводятся к табличным, называют иногда табличным интегрированием. При этом полезно иметь в виду следующее свойство:

Свойство 6. .

Чтобы доказать это свойство, нужно продифференцировать обе части данного равенства. Действительно, получаем

1.5. Примеры табличного интегрирования

Примеры 1.1. Вычислить интегралы

а) , б) , в) .

Решение. а) Используя свойства 4 и 5, получим

б) Воспользуемся свойством 6, где a=2, и табличным интегралом 3. Тогда получим

в) Предварительно произведем тригонометрические преобразования подынтегрального выражения, воспользовавшись тождеством: cos²x + sin²x = 1. В результате получим