Механические колебания. Свободные незатухающие колебания. Скорость, ускорение, энергия колеблющейся точки. Сложение гармонических колебаний, страница 2

Его решениями являются выражения (1.1).

П р и м е р 3. Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний имеет вид . Найти частоту и период этих колебаний.

Р е ш е н и е.Запишем уравнение в виде: .

Отсюда следует, что а Период колебаний определяется по формуле: Следовательно, Т = 2∙3,14/2 = 3,14 с.

Физическим маятником называют твёрдое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси (рис. 1.5), проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

Момент силы тяжести mg относительно оси вращения О

где - длина физического маятника (pасстояние от точки подвеса до центpа масс маятника = OC).

По основному закону динамики вpащательного движения Ie = M, Здесь I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, e - угловое ускорение.

Для малых отклонений sin j = j, тогда

(1.10)

Из сравнения уравнений (1.9) и (1.10) следует, что и пеpиод колебаний

(1.11)

Математический маятник представляет собой материальную точку массой m, подвешенную на абсолютно упругой нерастяжимой нити и совершающую колебания под действием силы тяжести (рис. 1.6).

В формулу (1.11) подставим момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку подвеса, , получим

. (1.12)

Из выражений (1.11) и (1.12) следует, что физический маятник имеет такой же период колебаний, как и математический с длиной

Эту величину называют приведённой длиной физического маятника. Отметим, что I - момент инеpции относительно оси, пpоходящей чеpез точку подвеса O. По теоpеме Штейнеpа

где I_C- момент инеpции относительно оси, пpоходящей чеpез центp масс маятника. Пpедставим пpиведенную длину маятника в виде

откуда видно, что пpиведенная длина физического маятника больше его длины

Если от точки подвеса О отложить (см. рис. 1.5), то найдём точку О₁, которая называется центром качания. Точка подвеса и центр качания являются сопряженными. Это значит, что маятник, подвешенный за центр качания О₁, не изменит периода колебаний, а точка O сделается новым центром качания.

П р и м е р 4. Однородный стержень длиной b совершает колебания в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов (рис.1.7). Определить период колебаний.

Р е ш е н и е.Воспользуемся формулой для определения периода колебаний физического маятника (1.11), где ℓ = ОС – расстояние от оси вращения до центра масс. Это расстояние ℓ=b/2 (рис. 1.7). Момент инерции стержня относительно его конца I =1/3mb². Следовательно,

Сила, возвpащающая маятник в положение pавновесия (рис. 1.6), т. е. пpопоpциональна смещению x, но эта сила не упpугая по своей пpиpоде, поэтому она называется квазиупругой.

Таким образом, механические гармонические колебания возникают в системах под действием сил, пропорциональных смещению.

1.4. Сложение гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях одинаковой частоты (ω₀₁= ω₀₂= ω₀), описываемых выражениями

x₁ = A₁ сos (ω₀t+a₁)и

x₂ = A₂ сos (ω₀t +a₂) (1.13)

Тогда уравнение результирующего колебания запишется в виде:

x = x₁ + x₂ = A₁cos(ω₀t +a₁) + A₂ cos (ω₀t +a₂) = A cos(ω₀ t +a).

Амплитуду A и начальную фазу a результирующего колебания определяют с помощью векторной диаграммы (рис. 1.8), где исходные колебания изображаются векторами, равными по модулю амплитудам А₁и А₂, направленными под углами a₁ и a₂ к оси абсцисс. Если вращать эти векторы с угловой скоростью ω₀,, то их проекции на ось абсцисс будут подчиняться уравнениям (1.13).

Тогда модуль вектора А результирующего колебания равен (рис. 1.8):

(1.14)

а начальная фаза его определится по формуле

(1.15)

П р и м е р 5. Два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковой частотой ω₀ и амплитудами А₁ = 3 см, А₂ = 5 см складываются в одно гармоническое колебание с амплитудой А = 7 см. Определить разность фаз складываемых колебаний.

Р е ш е н и е.Воспользуемся выражением (1.14), откуда

Проведем вычисления:

П р и м е р 6. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, заданных уравнениями и где х выражено в сантиметрах. Определить уравнение движения точки и ее максимальную скорость.