Пусть , где
- величина l-ой
ошибки.
Реально мы не знаем ни р, ни номеров сбытых символов , ни значений
.
Легко находятся компоненты синдрома
Введем более компактные обозначения -
величины ошибок
- локатор
-ой
ошибки – элемент поля ассоциированный с положением ошибки на позиции
.
Тогда,
Система имеет единственное решение. Любой метод решения этой нелинейной
системы – алгоритм декодирования. Питерсон изложил искусственный прием ее
решения, состоящий в следующем. Введем промежуточные переменные , которые могут быть вычислены по
компонентам синдрома
, а по ним положение
ошибок.
(*)
.
Корнями этого многочлена (локатора ошибок) являются элементы ,
-
обратные к локаторам ошибок. Знаем корни – знаем номера сбитых символов.
Умножим обе части равенства (*) на и
положим
. Тогда левая часть (*) будет нулем и
получим:
.
Просуммируем по от 1 до
, тогда для каждого
получим уравнение
Каждая сумма слева компонента синдрома.
.
Получается система линейных уравнений.
,
.
В матричном виде эта система имеет вид:
Доказано, что матрица невырождена, если произошло ровно р ошибок.
Блок схема алгоритма декодирования приведена ниже.
![]() |
Нахождение корней, поскольку они являются элементами поля легко осуществляется путем перебора,
известного под названием процедура Ченя. Сама схема вычисления значения
при
наиболее
экономичной по числу операций будет схемой Горнера:
.
Рассмотрим два примера. Первый вариант для кода БЧХ ,
,
.
Пусть при декодировании (на входе) имеет место исправляемая комбинация
ошибок. Принято из канала .
Убедитесь, что декодер Питерсона-Горенстейна-Цирмера правильно декодирует информацию. Получите конкретно, что передавалось по каналу и какой вектор ошибок.
Шаг 1
Вывод: 2 ошибки.
Шаг 2
Находим коэффициенты системы уравнений и, решая ее, коэффициенты локатора ошибок.
|
|
Шаг 3
Позиция №9 кода ошибочная .
Позиция № 6 кода ошибочная.
Результат декодирования:
передана цифра 2. В канале 2 ошибки .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.