Информатика и выч. техника \ Защита информации

Помехоустойчивость передачи данных, страница 2

Если в качестве критерия приема выбрать критерий максимального правдоподобия Фишера, решение принимается сравнением  с 1. Но это равносильно сравнению показателя у экспоненты с нулем. Получаем, следовательно, такую структурную схему приемника, принимающего решения по наблюдаемым реализациям сигналов с помехами:

 


Сравниваемые интегралы можно преобразовать, тогда получим другие варианты возможных реализаций оптимальных приемников.

Сравнивать надо как следует из последнего выражения ( и  - энергия сигналов единицы и нуля).

.

Здесь Е0 – энергия сигнала «0», Е1 – энергия сигнала «1».

Корреляционный приемник для этого варианта следующий:

 


Если энергии сигналов равны, схема упрощается и приобретается весьма ценное свойство – нечувствительность к уровню входного сигнала.

 


5.5  Приемник на согласованных фильтрах

Реакция фильтра на входное воздействие  может быть найдена как интеграл свертки .

Подберем такой фильтр, чтобы к моменту  его выходная реакция  была равна величине интеграла. Если сигнал поступит на вход в момент , то должно быть .

Отсюда , обозначим , получим .                              

Фильтр, импульсная переходная функция которого удовлетворяет последнему условию, называют согласованным с сигналом. График для  является зеркальным отображением сигнала , когда зеркало помещено в точку  и отсчет начинается от плоскости зеркала.

Найдем комплексный коэффициент согласованного фильтра.

С точностью до амплитудного множителя и постоянной задержки передаточная функция согласованного фильтра является комплексно-сопряженной со спектром сигнала.

.

Найдем выходной сигнал согласованного фильтра:

В соответствии с теоремой Релея при  выходной сигнал равен:

,

т.е. все спектральные составляющие выходного сигнала совпадают по фазе и в сумме дают максимальное значение , равное энергии сигнала. Во все остальные моменты времени фазы спектральных составляющих различны и пика амплитуды сигнала не будет.

Функциональная схема приемника на согласованных фильтрах будет следующей:

Выясним, с какой целью в последней схеме введен детектор огибающей. Для этого получим формулу для выходного сигнала как функцию времени. Пусть, например, входной сигнал , , шум отсутствует.

Для корреляционного приемника:

Для оптимального согласованного фильтра , будем полагать  выбранным так, что , т.е. на интервале  укладывается целое число периодов опорной частоты. Тогда .

Графики процесса накопления будут:

 


5.6  Расчет вероятности ошибок при приеме дискретных сигналов

Пусть передан первый из сигналов, т.е. .

Решение , в данном случае ошибочное, будет принято, если величина  окажется больше величины .

     или

.

Искомая вероятность ошибки равна:

где

Величина  имеет гауссовское распределение, т.к.  - подчинено гауссовскому распределению и известно, что линейные преобразования гауссовских распределений есть тоже гауссовское распределение.

Найдем параметры распределения величины .

Поскольку шум белый, то .

Тогда:

Получаем, следовательно:

.

Делаем замену переменной .

 - функция нормального распределения табулирована.

Аналогично, можно показать, что  и средняя вероятность ошибки:

.

Если вспомним определение расстояния между сигналами в Гильбертовском пространстве:

, то формулу для вероятности ошибки можно переписать в таком виде:

, где

 - средняя энергия сигналов,

 - мера несхожести сигналов (при  совпадает с коэффициентом корреляции между сигналами).

Рассмотрим примеры.

1.  Если бы сигналы были неразличимые, то ,

 - очевидный результат.

2.  Пусть сигналы противоположны, т.е. . Этот случай соответствует двоичной фазовой модуляции со скачком фазы равным .

,

3.  Пусть сигналы  и  ортогональны. Этот случай соответствует частотной модуляции в частности.

,

4.  Для случая амплитудной модуляции:

, , ,

.

Как видно из формул, потенциальная помехоустойчивость определяется отношением энергии сигнала к спектральной мощности помех и видом (геометрией) сигналов. Максимальной помехоустойчивостью обладает система передачи с ФМ. Для получения одинаковой вероятности ошибки при использовании ортогональных сигналов требуется в два раза большая энергия, а при АМ в четыре раза большая, чем при ФМ.

График зависимости вероятности ошибки от отношения  для ФМ, ЧМ и АМ сигналов приведен ниже. На рисунке показано, как выбирается разделяющая граница, и как изменяется в зависимости от вида сигналов расстояние между ними.

 


1

1

2

3

4

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

Ре

5.7  Примеры помехоустойчивых систем сигналов

5.7.1  Бинарные противоположные сигналы

В этом случае  - единственной колебание  любой формы. Векторы сигналов  и  выбираются так, что  и .

Тогда

.

Противоположными являются два сигнала любой формы, отличающиеся знаком.

5.7.2  Бинарные ортогональные сигналы

В этом случае ,  и  - ортонормированные колебания. Векторы сигналов выбираются так:

.

Временные графики сигналов  и  зависят от вида ортонормального набора.

Так, если

.

5.7.3  М-ортогональные сигналы

В этом случае образуется М сигналов из  - ортогональных колебаний  с конфигурацией векторов:

.

Временные графики сигналов определяются набором ортонормальных колебаний. Например, можно взять

Тогда - сигналы являются отрезками гармонических колебаний кратных частот . Реализовывать технически такой набор не очень удобно.

5.7.4  Биортогональные сигналы

В этом случае из  ортогональных колебаний  образуется  сигналов путем добавления к каждому из ортогональных сигналов противоположного сигнала.

Например, к векторам сигналов из п.2  и  добавляются  - противоположный  и  - противоположный .

5.7.5  Сигналы с прямоугольной конфигурацией векторов

В этом случае из  колебаний (ортогональных)  образуется  сигналов. Конфигурация векторов сигналов выбирается так, что они соответствуют вершинам -мерного куба. Так при :

- постоянная величина.

5.7.6  Симплексные сигналы

Это набор сигналов равноудаленных и предельно удаленных друг от друга при заданной энергии сигналов. В этом случае . Симплексные сигналы можно получить из ортогональных, если зафиксировать расстояние между сигналами .

 - коэффициент взаимной корреляции сигналов.

Расстояние между сигналами не изменится, если ко всем  добавить одно и то же колебание . На этом и основан переход к симплексным сигналам. Если найти минимум суммарной энергии вновь образованных сигналов:

- энергия ортогонального сигнала.

Скачать файл