Многоканальная система массового обслуживания с отказами, страница 2

Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением

на длину очереди

Рассмотрим СМО с одним каналом (n = 1), на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью m. Это означает, что непрерывно занятый ка­нал обслуживает в среднем m заявок в единицу времени. Заяв­ка, поступившая в СМО в момент, когда канал занят, в отли­чие от СМО с отказами, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает обслуживания.

Далее предполагаем, что в данной системе имеется ограни­чение на длину очереди, под которой, напомним, понимается максимальное число мест в очереди, а именно предполагаем, что в очереди могут находиться максимум m≥1 заявок. Поэто­му заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему необ­служенной.

Таким образом, рассматриваемая СМО относится к систе­мам смешанного типа с ограничением на длину очереди.

Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящих­ся в системе, т.е. под обслуживанием и в очереди:

S₀ — канал свободен (следовательно, очереди нет);

S₁— канал занят и очереди нет, т.е. в СМО находится (под обслуживанием) одна заявка;

. . .

S₂ — канал занят и в очереди стоит одна заявка;

. . .

Sk — канал занят и в очереди k — 1 заявка;

. . .

S_m+1—  канал занят и в очереди т заявок. Таким образом, СМО может находиться в одном из т + 1 состояний, граф которых представлен на рис. 5.1.

 

В каждом из состояний s_k, k = 1, ..., m+1, в системе находится, по сравнению с предыдущим состоянием s_k-1, на одну  заявку больше, которая поступает во входящем потоке. Так что переходы СМО из состояния s_k-1 в состояние s_{k ,}k = 1, ..., m + 1, (по стрелкам слева направо) происходят под воздействием входя­щего потока заявок. А так как этот поток имеет интенсивность l, то плотности вероятностей переходов l_k-1,_k=l, k=1,…,m+1.

 Переходы системы справа налево осуществляются "потоком обслуживании", поскольку в момент окончания обслуживания очередной заявки канал освобождается и либо будет простаи­вать (если в очереди нет заявок), либо примет к обслуживанию | заявку из очереди; и в том, и в другом случае число заявок в системе уменьшится на единицу. Поскольку интенсивность потока обслуживаний равна m, то плотности вероятностей пе­реходов справа налево l_k-1,_k=m,  k=1,…,m+1.

Расставив у стрелок графа плотности вероятностей перехо­дов, получим размеченный граф состояний данной СМО (см. рис. 5.1), из которого видно, что протекающий в ней процесс является процессом "гибели и размножения".

В табл. 5.1. сведены параметры рассматриваемой СМО, в табл. 5.2. — предельные характеристики СМО

таблица 5.1.

Параметры одноканальной СМО с ожиданием

 и ограничением на длину очереди

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения, формулы
1	Число каналов обслуживания	n=1
2	Максимальная длина очереди (максимальное число мест в очере­ди)	m≥1
3	Интенсивность входящего простейшего потока заявок Пвх	In Пвх =l = const (l не зависит от времени t)
4	Производительность канала - ин­тенсивность простейшего потока "обслуживании" Поб (среднее чис­ло заявок, обслуживаемое каналом за единицу времени при непрерыв­ной работе)	in Поб=m= const (m не зависит от времени t)

таблица 5.2.

Предельные характеристики эффективности

 функционирования одноканальной СМО с ожиданием

 и ограничением на длину очереди

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения,  формулы
1	Показатель    на­грузки   (трафик) системы	p = l/m
2	Вероятности состояний      СМО, выраженные  через     показатель нагрузки р
3	Вероятности сос­тояний      СМО, выраженные через средний интервал времени Т между соседними посту­пающими    заявками, и среднее время   Тоб   об­служивания   од­ной заявки
4	Вероятность отказа
5	Вероятность того, что заявка будет принята в систему (не по­лучит отказ)
6	Относительная пропускная спо­собность СМО	Q=pсис=1-pотк
7	Абсолютная про­пускная способ­ность СМО	А=lQ
8	Интенсивность выходящего по­тока заявок	in Пвых=n=A
9	Среднее число заявок в очереди
10	Среднее число заявок, находя­щихся под об­служиванием
11	Среднее число заявок, находя­щихся в системе (как в очереди, так и под обслу­живанием)
12	Среднее время ожидания заявки в очереди	Точ=(1/l)* Nсис  (Формула Литта)
13	Среднее время пребывания за­явки в системе (как в очереди, так и под обслу­живанием)	Тсис=(1/l)* Nсис  (Формула Литта)
14	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслу­женным заявкам	Тоб=1/m
15	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслужен­ным, так и полу­чившим отказ	Тоб"=(1/l)*Nоб (Формула Литта)