Оптимизация следящей системы, используя критерий минимума среднего квадрата ошибки; определение оптимального значения шумовой полосы системы и минимально допустимой ошибки слежения

2.Произвести оптимизацию следящей системы по параметру , используя критерий минимума среднего квадрата ошибки; определить оптимальное значение шумовой полосы  системы и минимально допустимую ошибку слежения ; построить графики зависимостей результирующей средней квадратической ошибки слежения, а также её составляющих (динамической и шумовой) от полосы.

Оптимизация системы по критерию минимума сводится к нахождению параметра, при котором обеспечивается минимум величины:

                (1)

при заданной структуре системы (вид передаточной системы ) и значения параметров , . По формуле (1) определяют средний квадрат ошибки слежения  в установившемся режиме ( - оценка задающего воздействия). Составляющая  определяет динамическую ошибку, обусловленную инерционностью следящей системы по отношению к меняющемуся задающему воздействию (при детерминированном воздействии ошибка также детерминированная). Составляющая  определяет дисперсию шумовой ошибки , обусловленной помехой . Таким образом, формула (1) определяет средний квадрат результирующей ошибки   .

Динамическая ошибка  определяется параметром  и задающего воздействия, а также порядком астатизма (числом интеграторов),  добротностью . Для системы первого порядка установившиеся ошибка равна:

.     (2)

 где K₁,с^-1 – добротность системы по скорости (k=1).

Вычисление шумовой полосы следящей системы упрощается, если подынтегральное выражение в виде:                                                                                       

    ,          

Где полиномы An(jw) и Bn(w) определяются как:

В формуле для передаточной характеристики замкнутой системы заменим р на jw, получаем:

проанализировав данное выражение, приходим к соображениям что:

Из этого вытекает:

Для системы описываемой дифференциальными уравнениями второго порядка n=2, значения табличного интеграла будут выглядеть в виде:

Переходим к виду:

                                             

Найдем оптимальное значение шумовой полосы:

Отсюда дисперсия шумовой ошибки:

 

Найдём оптимальное значение параметра Кu, для этого продифференцируем выражение для среднего квадрата ошибки и приравняем производную к нулю:

Где

Из получившегося уравнения найдем искомую величину Kuопт:

Отсюда найдём оптимальное значение шумовой полосы:

Минимально достижимая ошибка слежения:

Построим графики зависимостей динамической, шумовой и результирующей средне квадратической ошибки слежения от полосы пропускания  системы по формулам:

                                                    (7)

сводится к вычислению интеграла:

.

Значение, которого при  определяется формулой:

                                                               (8)

АЧХ  замкнутой системы может быть найдена, следующим способом:

Заменим в передаточной характеристике параметр  на , тогда получим выражение для комплексного коэффициента передачи замкнутой системы:

Тогда для квадрата модуля комплексного коэффициента передачи (квадрат АЧХ системы) запишем:

Откуда:

                .

Тогда в соответствии с формулой (6), для коэффициентов полинома запишем ;   ;                      ;

;   

Подставив значения параметров в выражение (8) получим:

Используя (7) находим шумовую полосу системы и дисперсию шумовой ошибки:

;               

Далее определим средний квадрат результирующей ошибки:

Произведем оптимизацию системы, учитывая, что порядок астатизма системы равен k=2.

Решая это уравнение, получим: