Каскадная форма реализации рекурсивных фильтров. Граф-схемы алгоритмов программной реализации рекурсивных фильтров. Прямая форма реализации биквадратного звена

#############################################################################

1.14. Как определяются передаточная функция и ИХ РЦФ при  каскадной форме реализации через  передаточные  функции и ИХ биквадратных звеньев?      

2.14. Как найти значения нулей биквадратного звена  по его коэффициентам?

3.14. Из каких условий выбирается вид аппроксимирующей функции?

4.14. Покажите граф-схему алгоритма программной реализации РЦФ для каскадной формы его реализации.

#############################################################################

1.14. Какой возможен порядок операций по ограничению разрядности произведений и сумм произведений в звене  РФ  второго  порядка при прямой форме его реализации?

#############################################################################

2.14. Как можно выполнить масштабирование сигнала путем масштабирования

коэффициентов звеньев РФ?

#############################################################################

3.14. Что такое шум (погрешность) квантования, оценки погрешности квантования чисел?

1.14.

каскадная  форма  реализации  рекурсивных  фильтров

Передаточная функция каскадно реализуемогоРФ (рис. 2.8) определяется произведением передаточных функций его звеньев: ,

, (2.56)     

где H_J(z)-передаточная функция  J-го биквадратного звена при значении коэффициента b_0J = 1; при b_0J ¹ 1 добавляется общий нормирующий или масштабирующий множитель С₀.

Рис. 2.8. Каскадная структура ЦФ

Для звена первого порядка коэффициенты b_2J и a_2J в (2.56) равны нулю.

Входным сигналом J-го звена x_J(n) в такой структуре является выходной сигнал y_J–1(n) предыдущего (J-1)-го звена: x_J(n) = y_J–1(n).

Коэффициенты звеньев и их полюсы и нули связаны соотношениями:

;   ;

b_1J = - (z_01J + z_02J);                        a_1J = - (z_p1J + z_p2J);

   b_2J = z_01J z_02J;                                  a_2J = z_p1J z_p2J.                                             (2.57 )

Пары нулей и полюсов, определяющие значения коэффициентов J-го звена, могут быть вещественными разными, вещественными равными, а при  и  - комплексно-сопряженными:

z_0(p)1J = z^*_0(p)2J = z_0(p)J.

В этом случае соотношения (2.57) принимают вид

       ,                           ,

      ,                    ,                      (2.58)

где  - нормированная частота нуля или полюса.

              Для звена первого порядка

2.14.

Значениям нулей и полюсов z₀₁ = 1, z₀₂ = -1, z_p1 = 0,4 + j0,6, z_p2 = 0,4 -    –j0,6, графически отображенным на рис. 2.7, соответствуют следующие значения коэффициентов рекурсивного звена 2-го порядка: b₀ = 1,  b₁ = 0, b₂ = -1, a₁ = - 0,8,  a₂ =  0,52.

              Частотная характеристика H(jw) каскадно реализуемого фильтра также определяется произведением частотных характеристик его звеньевH_J(jw):

^jj(w).

Ее модуль |H(jw)| (АЧХ фильтра) и аргумент j(w) (ФЧХ фильтра) соответственно равны

j(w) = j_J(w).

Выражения для частотной (H_J(jl)), амплитудно-частотной (|H_J(jl)|) и фазочастотной (j_J(l)) характеристик звеньев, представленные функцией нормированной цифровой частоты ,  имеют вид:

,

,

j_J(l) .

3.14.

Синтез РФ включает следующие этапы:

1. На основе исходных данных на синтез ЦФ (граничных частот  f_c , f_з , (l_с, l_з) и допусков на погрешности аппроксимации АЧХ а_п,, а_з) определяются исходные данные на синтез АФПНЧ, задающие требования к его АЧХ: допуски на погрешности аппроксимации а_п,, а_з – те же, что и для ЦФ, и граничные частоты W_c =1 и W_з =f_об(l_з),получаемые с помощью частотных преобразующих функций W =f_об(l) табл. 3.1.

2. По значениям а_п,, а_з и W_з синтезируется АФПНЧ: выбирается тип аппроксимирующей функции, определяются порядок фильтра m и значения его полюсов и нулей: p_pi, p_0i,     i = 1, 2, ... m. От вида аппроксимации зависит порядок фильтра и, как следствие, сложность его реализации и быстродействие. Наименьший порядок имеют эллиптические фильтры, наибольший – фильтры Баттерворта и Бесселя. В то же время фильтры с полиномиальной аппроксимацией (Баттерворта, Бесселя, Чебышева инверсная) имеют коэффициенты b₁, b₂ передаточной функции звеньев каскадной реализации, равные 0, ±1, ±2, умножение на которые выполняется тривиально. В результате при большем  порядке требуемый объем вычислений  при их реализации может оказаться меньше, чем для ЦФ с дробной аппроксимацией (Золотарева–Кауэра, Чебышева прямая), где коэффициенты b₁, b₂ не являются тривиальными. Кроме того, при выборе вида аппроксимации учитываются дополнительные требования к АЧХ, например, ее желаемая монотонность в полосе пропускания и или полосе задерживания, а также к ФЧХ – необходимая степень  линейности ФЧХ в полосе пропускания.

4.14.

граф-схемы  алгоритмов  программной  реализации рекурсивных  фильтров

Под программной реализацией ЦОС понимается обработка, выполняемая на компьютере не в реальном времени, например, обработка записей сигналов. Обработка в реальном времени требует дополнительных аппаратно-программных средств синхронизации ввода, обработки и вывода данных, которые рассматриваются в главе 12.

На рис. 2.13, 2.14 приведены граф-схемы алгоритмов (ГСА) программной реализации РФ на основе каскадного и параллельного соединения канонических биквадратных звеньев.

Программы ЦФ имеют циклическую структуру. Во внутреннем цикле по переменной J (номер звена) осуществляется последовательная обработка текущего отсчета сигнала биквадратными звеньями фильтра в соответствии с их базовой операцией. Базовая операция включает разностные уравнения звена (2.64) и операторы присваивания или пересылки  (сдвига) сигнальной памяти w_J(n-2) = w_J(n- 1),w_J(n-1) = w_J(n), которые предшествуют обработке следующего отсчета сигнала в соответствии с внешним циклом ГСА.

На ГСА внутренние сигналы фильтра w_J(n), w_J(n-1),  w_J(n-2)представлены  соответствующими программными переменными W, W1(J), W2(J). Также использованы программные переменные (идентификаторы) B0(J),B1(J), B2(J), A1(J), A2(J) для коэффициентов звеньев b_0J, b_1J , b_2J, B_0J,, B_1J,  a_1J, a_2Jи X, Y – для отсчетов сигнала x(n), y(n). Оператор X = Y присваивает значение выходного отсчета J–го звена входному отсчету  (J + 1)-го, т. е. следующего звена фильтра. C помощью коэффициентов M(J) < 1 осуществляется масштабирование входных сигналов звеньев в каскадной структуре, а с помощью  коэффициента М – входного сигнала всего фильтра в параллельной структуре (см. гл. 4).

 

Рис. 2.13. Граф-схема алгоритма программной реализации РФ

(каскадная форма  реализации)

1.14.

прямая  форма  реализации  биквадратного  звена

Прямая форма реализации биквадратного звена описывается разностным уравнением вида

.         (2.63)

Ему соответствует структурная схема звена рис. 2.10, содержащая элементы памяти (задержки) z^–1 на один период дискретизации Т_д, умножители (Х) и сумматор å.

                        

Рис. 2.10. Cтруктура биквадратного звена для прямой формы реализации

В ячейках памяти z^–1, называемой сигнальной памятью фильтра, сохраняются предыдущие отсчеты входного и выходного сигналов x(n – 1), x(n –2), y(n – 1), y(n – 2). В уравнении (2.63) полагается, что x(–1) = x(–2) = y(–1) =     = y(–2) = 0, что соответствует нулевым начальным условиям работы звена. Начальные условия обеспечиваются обнулением ячеек памяти z^–1 до начала обработки. После обработки очередного отсчета сигнала звено должно быть подготовлено к обработке следующего. Подготовка включает операции сдвига сигнальной памяти, соответствующие операторам пересылки    x(n – 1) ® x(n – 2), x(n) ® x(n – 1), y(n –1) ® y(n – 2), y(n) ® y(n – 1), или программного присваивания: x(n – 2) = x(n – 1), x(n – 1) = x(n), y(n – 2) = y(n – 1), y(n – 1) =   = y(n). После выполнения их на вход звена может быть подан следующий отсчета сигнала.                 

Уравнению звена (2.63) эквивалентна также пара разностных уравнений вида                           ,

,

которые раздельно описывают нерекурсивную и рекурсивную части звена при прямой форме его реализации.

Для аппаратной реализации звена необходимы 4 элемента памяти, сумматор на 5 входов и 5 (4 при b₀ = 1) умножителей. При программной реализации нужно выполнить 5 (4) операций умножения и 4 операции сложения на 1 отсчет сигнала.
2.14.

Масштабирование сигналов в цифровых фильтрах используют для исключения возможного переполнения сумматоров при накоплении сумм произведений и осуществляют введением масштабных умножителей на входе всего фильтра (рис. 4.2, а) или входах его звеньев в случае каскадной реализации (рис. 4.2, б).

Масштабные множители (ММ) m_i выбирают так, чтобы амплитуды сигналов на выходах сумматоров  или звеньев v_i(n) (рис. 4.3) при максимальном значении сигнала на входе фильтра x(n), равном единице    (|x(n)|_max= 1), не превышали по модулю некоторого максимального значения, принимаемого также обычно за единицу (|v_i(n)|_max= 1).

3.14.

Ограничение разрядности чисел называется их квантованием. Очевидно, что квантование произведений или сумм произведений эквивалентно умножению с конечной точностью и приводит к погрешности обработки. Эту погрешность аналогично погрешности квантования АЦП называют шумом квантования или собственным шумом цифрового фильтра

ОЦЕНКИ  ПОГРЕШНОСТИ  КВАНТОВАНИЯ  ЧИСЕЛ

Вызываемую ограничением разрядности чисел погрешность квантования, определяют разностью их квантованного и точного значений:                          e(n) = v_кв(n)-v(n). Полагается, что значения погрешности или отсчеты шума квантования e(n)равновероятны в пределах  при усечении и  при округлении и характеризуются максимальным значением , дисперсией  и среднеквадратичным значением (СКЗ) ,   где h = 1при усечении и ½ при округлении; q_др- число сохраняемых разрядов дробной части числа;     – вес единицы младшего разряда числа (ЕМР).

              Для цифрового сигнала АЦП q_др = q_x - определяется числом разрядов АЦП без учета знакового разряда.

              Для внутренних сигналов фильтра, получаемых в результате умножения и накопления сумм произведений и приведения их к формату правильной дроби, q_др равно числу разрядов q_R сигнальных регистров фильтра (также без учета знакового разряда) или иначе длине слова фильтра.