Математика \ Высшая математика

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, страница 2

В частности, если , а , то в области найдется такая точка, в которой значение функции равно нулю.

ГЛАВА 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§ 1 Частные производные, их геометрический смысл

Пусть дана функция , - фиксированная точка, - приращение первой координаты, - приращение второй координаты точки.

- полное приращение функции,

- приращение функции по Х,

- приращение функции по Y.

См. чертеж

Опр. Частной производной функции называется .

Аналогично

Примеры:

Найти частные производные функций

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение:

1) - функция 2-х переменных х и y, поэтому 2-е частные производные и (читается так: зет штрих по икс или де зет по де икс)

;

2) ;

; ;

; .

3) ;

;

; .

№ 4 и № 5 сделать самостоятельно.

Частные производные функции 2-х переменных имеют простой геометрический смысл.

Зафиксируем значение y, положив . Тогда функция становится функцией только одной переменной х. Мы получим график этой функции, если рассечем поверхность плоскостью . Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что есть тангенс угла между осью ОХ и касательной, проведенной в точке к кривой, полученной от сечения поверхности плоскостью .

Аналогично, есть ………………………… (написать самостоятельно).

§ 2 Дифференцируемость функции 2^х переменных

Опр. Функция называется дифференцируемой в точке , если полное приращение функции в этой точке может быть представлено в виде суммы 2^х частей, одна из которых линейно зависит от приращений аргументов и , а другая является б.м. более высокого порядка по сравнению с .

, где при .

Выясним смысл А и В.

; ;

Т.о. , аналогично

Т 1 (1^ое необходимое условие дифференцируемости) Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные, причем

; .

Т 2 (2^ое необходимое условие дифференцируемости) Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство очевидно в силу определения дифференцируемости и свойств б. малых.

Т 3 (достаточное условие дифференцируемости) Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то эта функция дифференцируема в точке .

б/д

§ 3 Дифференцируемость сложной функции

Пусть функция дифференцируема по переменным х и у, а функции и - дифференцируемы по переменным u,v.

Тогда функция дифференцируема по u и v, причем

;

Доказательство.

Было введено ,

(это следует из дифференцируемости функции )

(по условию и - дифференцируемы).

Тогда

б.м.

Заметим, что

, где - ограничено (т.к. ) и . Поэтому первый квадрат под знаком корня ограничен. По той же причине ограничен и второй квадрат. Тогда , где - ограниченная величина. Поэтому , где при .

б.м.

Таким образом,

ч.т.д.

б.м.в.

Примеры:

1) , где

2) , где ;

; ;

; .

3) , . Найти

. (Если подставим в данную функцию, тогда ).

Самостоятельно написать формулы для нахождения частных производных

4) , где ,

5) , где ,

6) , где , ,

§ 4 Дифференциал

Пусть дана дифференцируемая функция , тогда по определению дифференцируемости .

гл. часть

Опр. Дифференциалом функции 2^х переменных называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргументов

или .

х, у независимые переменные, тогда , .

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала

I. Пусть , где х и у независимые переменные, тогда .

II. Пусть , где , . Найдем в этом случае дифференциал .

Отсюда следует, что форма дифференциала не изменилась.

Правила отыскания дифференциала

1) ;

2) ;

3) ;

§ 5 Дифференциал в приближенных вычислениях

Пусть дана функция , - фиксированная точка, - новая точка, где , .

Приращение функции можно с достаточной степенью точности заменить дифференциалом, т.е. . Тогда

или

Пример. Вычислить .

Решение. Составим функцию . Нас интересует значение этой функции в точке .

; ; ; .

(оценку погрешности не делаем здесь).

§ 6 Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда в достаточно малой окрестности т. приращение функции можно приближенно заменить дифференциалом , то есть

или

Функция, для которой , линейная функция, ее график плоскость. Эта плоскость называется касательной плоскостью к графику функции в точке.

Уравнение касательной плоскости

Пример.

Уравнение касательной плоскости

или .

Теперь ничего не стоит составить уравнение нормали

; - направляющий вектор нормали.

Таким образом уравнение нормали к графику дифференцируемой функции

§ 7 Частные производные высших порядков

Производная 2^го порядка есть производная от производной первого порядка

; ; ;

Пример.

; .

Теорема. Если функция имеет в некоторой точке непрерывные смешанные производные, то эти произведения равны между собой.

§ 8 Максимум и минимум функции нескольких переменных

Пусть функция определена в некоторой области .

Опр. Точка , являющаяся внутренней точкой области определения функции , называется точкой максимума, если существует такое положительное число , что для всех точек выполняется неравенство .