Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, страница 2

В частности, если , а , то в области  найдется такая точка, в которой значение функции равно нулю.

ГЛАВА 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§ 1 Частные производные, их геометрический смысл

Пусть дана функция ,  - фиксированная точка,  - приращение первой координаты,  - приращение второй координаты точки.

 - полное приращение функции,

 - приращение функции по Х,

 - приращение функции по Y.

См. чертеж

Опр. Частной производной  функции  называется .

Аналогично

Примеры:

Найти частные производные функций

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение:

1)  - функция 2-х переменных х и y, поэтому 2-е частные производные  и  (читается так: зет штрих по икс или де зет по де икс)

;

;

;

.

2) ;  

; ;

; .

3) ;  

;

;

; .

№ 4 и № 5 сделать самостоятельно.

Частные производные функции 2-х переменных имеют простой геометрический смысл.

Зафиксируем значение y, положив . Тогда функция  становится функцией только одной переменной х. Мы получим график этой функции, если рассечем поверхность  плоскостью . Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что  есть тангенс угла  между осью ОХ и касательной, проведенной в точке  к кривой, полученной от сечения поверхности  плоскостью .

Аналогично,  есть ………………………… (написать самостоятельно).

§ 2 Дифференцируемость функции 2х переменных


Опр. Функция  называется дифференцируемой в точке , если полное приращение функции в этой точке может быть представлено в виде суммы 2х частей, одна из которых линейно зависит от приращений аргументов  и , а другая является б.м. более высокого порядка по сравнению с .

, где  при .

Выясним смысл А и В.

; ;

Т.о. , аналогично

Т 1 (1ое необходимое условие дифференцируемости) Если функция  дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные, причем

; .

Т 2 (2ое необходимое условие дифференцируемости) Если функция  дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство очевидно в силу определения дифференцируемости и свойств б. малых.

Т 3 (достаточное условие дифференцируемости) Если функция  имеет в точке  непрерывные частные производные, то эта функция дифференцируема в точке .

б/д

§ 3 Дифференцируемость сложной функции

Пусть функция  дифференцируема по переменным х и у, а функции  и  - дифференцируемы по переменным u,v.

Тогда функция  дифференцируема по u и v, причем

;

Доказательство.

Было введено ,

 (это следует из дифференцируемости функции )

 

 (по условию  и  - дифференцируемы).

Тогда

.

 


                    б.м.

Заметим, что

, где  - ограничено (т.к. ) и . Поэтому первый квадрат под знаком корня ограничен. По той же причине ограничен и второй квадрат. Тогда , где  - ограниченная величина. Поэтому , где  при .

 


                                                                               б.м.

Таким образом,

    ч.т.д.

                                                                                                           б.м.в.

Примеры:

1) , где

2) , где ;         

; ;

; ;

; .

3) , . Найти

. (Если  подставим в данную функцию, тогда ).

Самостоятельно написать формулы для нахождения частных производных

4) , где ,

5) , где ,

6) , где , ,

§ 4 Дифференциал

Пусть дана дифференцируемая функция , тогда по определению дифференцируемости .

                                  гл. часть

Опр. Дифференциалом функции 2х переменных называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргументов

 или .

х, у независимые переменные, тогда , .

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала

I. Пусть , где х и у независимые переменные, тогда .

II. Пусть , где , . Найдем в этом случае дифференциал .

Отсюда следует, что форма дифференциала не изменилась.

Правила отыскания дифференциала

1) ;

2) ;

3) ;

§ 5 Дифференциал в приближенных вычислениях

Пусть дана функция ,  - фиксированная точка,  - новая точка, где , .

  .

Приращение функции можно с достаточной степенью точности заменить дифференциалом, т.е. . Тогда

или

Пример. Вычислить .

Решение. Составим функцию . Нас интересует значение этой функции в точке .

; ; ; .

 (оценку погрешности не делаем здесь).

§ 6 Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Пусть функция  дифференцируема в точке . Тогда в достаточно малой окрестности т.  приращение функции  можно приближенно заменить дифференциалом , то есть

 или

.

Функция, для которой , линейная функция, ее график плоскость. Эта плоскость называется касательной плоскостью к графику функции в точке.

Уравнение касательной плоскости

Пример.

.

Уравнение касательной плоскости

 или .

Теперь ничего не стоит составить уравнение нормали

;  - направляющий вектор нормали.

Таким образом уравнение нормали к графику дифференцируемой функции

§ 7 Частные производные высших порядков

Производная 2го порядка есть производная от производной первого порядка

; ; ;

Пример.

; .

; .

; .

Теорема. Если функция  имеет в некоторой точке непрерывные смешанные производные, то эти произведения равны между собой.

§ 8 Максимум и минимум функции нескольких переменных

Пусть функция  определена в некоторой области .

Опр. Точка , являющаяся внутренней точкой области определения функции , называется точкой максимума, если существует такое положительное число , что для всех точек  выполняется неравенство .

Определение минимума дать самостоятельно.

Необходимое условие экстремума функции

Теорема Если точка  является точкой ext дифференцируемой в этой точке функции , то  и .

Опр. Точка, в которой частные производные равны 0, называется стационарной точкой функции.

Стационарные точки являются подозрительными на ext.

Геометрическая интерпретация необходимого условия ext

Пусть дана дифференцируемая функция , точка  принадлежит области дифференцирования. Из условия, что  следует, что

 и

Проведем касательную плоскость к поверхности  в т. .

Ее уравнение                               0                                        0

Значит уравнение касательной плоскости  - это горизонтальная плоскость (параллельна плоскости ХОУ).

В точке ext касательная плоскость горизонтальна.

min

 

Теорема (достаточное условие ext функции 2х переменных) Пусть функция  является дважды дифференцируемой в стационарной точке . Тогда если

I. Определитель , то стационарная точка  является точкой ext, а именно: а) точкой max, если  и б) точкой min, если .

II. Если , то стационарная точка  не является точкой ext.

III. В случае  ничего определенного сказать нельзя.

Замечание:

Пример.

Найти ext функции

I шаг   

             ;

II шаг   или  

или  или  - стационарные точки.

III шаг ; ;

;

 ext нет

 ext нет

 ext нет

, ext есть.  точка max ,

а .


Правило отыскания extфункции