Нормальная форма уравнений состояния имеет вид:
(1.2)
Здесь А – квадратная матрица определенного вида, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю – единицы, элементы нижней строки – коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком. Все остальные элементы – нули. Такая матрица называется матрицей Фробениуса.
Согласно (4.1) дифференциальное уравнение системы имеет вид:
где и
–
коэффициенты уравнения.
Элементы
матриц B и D вычисляются по следующим рекуррентным соотношениям:
,
,
Подставив рассчитанные матрицы в систему (4.2), получим
Схема модели приведена на рис. 4.6.
|
|
|
|
|
|
|
Записать уравнения состояния в канонической форме. Изобразить схему моделирования.
Введем новую переменную состояния q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: х = М q. М – это модальная матрица, которая имеет вид
где li – характеристические числа матрицы Фробениуса А.
При подстановке q вместо x в нормальную форму уравнений состояния (1.2), то после преобразований получим уравнения состояния системы в канонической форме:
(1.3)
Здесь L – диагональная матрица:
где M-1 – матрица, обратная модальной.
,
где AdjM – матрица, присоединённая к M, т. е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Matlab
>> M=[1 1 1;-1 -6 -8; 1 36 64]
M =
1 1 1
-1 -6 -8
1 36 64
inv(M)
ans =
1.3714 0.4000 0.0286
-0.8000 -0.9000 -0.1000
0.4286 0.5000 0.0714
B=[0;144;-1872]
B =
0
144
-1872
M-1*B
ans =
4.1143
57.6000
-61.7143
Подставив найденные значения в (1.3), получим
Схема модели, соответствующая полученной системе, приведена на рис. 4.7. Для нее характерно параллельное соединение интеграторов, выходы которых определяются переменными состояния q1, q2, q3.
Блок-схема модели
|
Рис. 1.7
Найдем решение y(t) для системы уравнений в нормальной форме, если
начальные условия имеют вид: Сигнал
Переходя
к начальным условиям для х, в
соответствии с принятыми ранее обозначениями получим
Решение уравнения состояния складывается
из двух составляющих
–
свободной и вынужденной.
Свободная составляющая
– это общее решение дифференциального уравнения системы с нулевой
правой частью. Оно не зависит от внешнего воздействия и характеризует
естественное поведение системы.
Вынужденная составляющая
– это частное решение дифференциального уравнения с ненулевой правой
частью. Оно зависит от сигнала
и
характеризует поведение системы под его воздействием.
Решение уравнения состояния
имеет вид
где
–
фундаментальная матрица или матрица перехода.
Она вычисляется по следующей формуле:
где
–
неизвестные коэффициенты.
Вычислить их можно, решая матричное уравнение
Для рассматриваемого примера
Перемножая матрицы, получаем систему уравнений следующего вида
Решение данной системы уравнений имеет вид
Итак,
Так как , то свободная составляющая выходного сигнала будет
равна
Определим вынужденную составляющую при входном
сигнале u(t) = 2*1(t). Сигнал
на выходе при поступлении на вход 1(t) уже вычислен – это переходная характеристика
системы (1.4). Чтобы получить вынужденную составляющую сигнала в нашем случае
– умножим переходную характеристику на 2.
Таким образом, сигнал на выходе системы будет следующим:
Выполним проверку:
Найдем
решение уравнений состояния, представленных в канонической форме (4.3). Каждое
из дифференциальных уравнений первого порядка зависит
только от одной переменной и его решение в общем виде имеет вид
Определим
начальные условия для
вектора
Так как , то
Найдем выражения для и
В результате получим
Выполним проверку:
Решения нормальных и канонических уравнений состояния совпадают.
Проверим, одинаково ли значение коэффициента усиления: по передаточной функции, переходной характеристике, моделям в пространстве состояний, аналитической записи импульсной переходной характеристики.
Проверим значение коэффициента усиления по передаточной функции
По переходной характеристике:
По моделям в пространстве состояний.
Каноническая форма:
Нормальная форма
(в установившемся режиме на входах интеграторов нули):
По аналитической записи импульсной переходной характеристики:
Мы видим, что значение коэффициента усиления одинаково.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.