Изучение переходных процессов

Лабораторная работа №1

Переходные процессы

Для данной лабораторной работы были взяты следующие начальные данные: L=0.1 Гн, U=10 B, R₁=R_заряд=2*10³ Ом, R₂=R_разр=748 Ом.

                        R_ЗАРЯД              К1

                                                                     Реле       L              

                                                                1           2     

          E

                                                                           C

 

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора. Ключ К1 замкнут, и реле находится в положении -1

U_{C СВ}(0_)=0

I_ПРR₁+U_{C ПР}=E,  но  I_ПР=0 то U_{C ПР}=Е или что тоже самое U_{C ПР}=10 (В)

U_{C CB}(0)= U_{C СВ}(0+)- U_ПР=-10 (В)

Z(p)=R₁+1/Cp  Приравнивая Z(p)=0 получим характеристическое уравнение: R₁+1/Cp=0

Решаем уравнение относительно p: p=-1/RC

При одном корне характеристического уравнения получаем решение для свободной составляющей напряжения на конденсаторе: U_{C CB}(t)=Ae^pt. Перепишем решение для момента времени  t=0: U_{C CB}(0)=A, но U_{C CB}(0)=-10(В). Следовательно А=-10, отсюда получаем U_{C CB}(t)=-10e^pt. Общее решение : U_C (t)=U_ПР+U_{C CB}(t),       U_C (t)=10-10e^-t/RC.

Записываем  решение  для момента времени  t=τ :                                              U_C(t)=10-10e^-τ/RC=10(1- e ^-1)=6.32 (B)

τ=|1/p| =|1/R₁C|=R₁C, отсюда электроёмкость  будет равна: С=τ/R₁

Из изображения полученного на осциллографе определяем время τ: τ=0,002(с).   Тогда С =1 мкФ. Отсюда получаем график процесса зарядки конденсатора:

Рассмотрим процесс разрядки конденсатора на разрядное сопротивление R_РАЗРЯД=R₂. Задачу по нахождению U_C(t) будем решать классическим методом. Определяем ток через индуктивность и напряжение на ёмкости в момент времени t=0_: i(0_)=0 , U_C(0_)=10 (B). Определяем принуждённую составляющую тока через индуктивность  и принуждённое напряжение на ёмкости: I_ПР=0, U_{С ПР}=0, так как нет ЭДС.

Определяем свободные составляющие  в момент времени t=0:

i_CВ(0)=i(0+)-i_ПР=i(0_)-i_ПР=0

U_{C CВ}(0)=U(0+)-U_ПР=U(0_)-U_ПР=10 (B)

Составляем характеристическое уравнение

Z(p)=R₂+Lp+1/Cp, приравнивая Z(p)=0 или тоже самое что и

R₂+Lp+1/Cp=0 и делая необходимые математические преобразования получаем квадратное уравнение, которое решается относительно –p:

p²+p*(R₂/L)+1/LC=0

p_1,2=-R₂/2L±√( R₂/2L)²-1/LC

p₁=-1741, p₂=-5736,9. Данные значения корней характеристического уравнения говорят о том что процесс апериодический.

Составим  закон по которому изменяется свободная составляющая напряжения: U_{C CB}(t)=A₁e^p1t+ A₂e^p2t. Для нахождения коэффициентов А₁ и А₂ составляем систему уравнений состоящую из решений и производных от решения до (n-1) порядка включительно (где n степень характеристического уравнения).

dU_{С СВ}(t)/dt= A₁ p₁e^p1t+ A₂ p₂e^p2t, переписываем систему уравнений для момента времени t=0:

U_{C CB}(0)=A₁+ A₂

dU_{С СВ}(t)/dt= A₁ p₁+ A₂ p₂

Ток через ёмкость  i=C (dU_C /dt) или i_CB(0) =C (dU_{C CB}(0) /dt) откуда          dU_{C CB}(0) /dt= i_CB(0)/C=0. Тогда получаем систему уравнений, которую решаем методом Краммера-Копели :

A₁+ A₂=10

A₁ p₁+ A₂ p₂=0

Высчитаем определитель матрицы проводимости g,  ∆ :     

                                                                   

найдём определитель матрицы   ∆₁ :   

                                                           

найдём определитель матрицы   ∆₂ :

                                                           

Отсюда получаем : А₁ = ∆₁/∆ =14,36, А₂ = ∆₂/∆=-4,36.

Составляем решение для напряжения на конденсаторе:

U_C (t)= U_ПР + U_{C СВ}(t)

U_C (t)= 14.36e^-1743.1t – 4.36e^-5736.9t

Построим получившуюся зависимость