Анализ системы методом контурных токов и методом узловых потенциалов. Расчёт баланса мощностей

Министерство Образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Расчетно-графическая работа по предмету:

«Теоретические основы электротехники»

Выполнил:

студент группы УИТ-32

Тополев А.А.

Проверил:

Зайцев А.В.

Балаково 2005

Дано:

R₁= 6 Ом                         Е₂= 21 В

R₂= 12 Ом                       Е₃= 22,5 В

R₃= 9Ом                          φ_с= 0

R₄= 15 Ом                       I_к2= 2 А

R₅= 19,5 Ом                    E_{J =} R₂ · I_к2 =24

R₆= 15 Ом

Нулевой потенциал – потенциал узла а.

I. Проводим анализ схемы – число узлов (n=5),  источник тока J_k3 = 0, поэтому его не рисуем; число ветвей (m=8), число ветвей с источником тока (m_J=1).

Произвольно расставляются действительные токи в ветвях.

1.  По первому закону Кирхгоффа составляется n-1 уравнение (n- число узлов).

Узел а:

I₂+ I₁- I₅ =0

Узел b:

I₃- I₆- I_к2- I'₂ =0

Узел d:

I₆+ I₄- I₁=0

Узел c:

I₅- I₄- I₃ =0

2.  По второму закону Кирхгоффа составляется m-m_J –(n-1) уравнения.

Контур 1:

- I'₂ · R₂+ I₆· R₆+I₁· R₁= -E₂;

Контур 2:

-I₁· R₁- I₄· R₄- I₅· R₅= 0;

Контур 3:

-I₃· R₃- I₆· R₆+ I₄· R₄= -E₃.

Проверка:

-1,9266·9+0,5082·15-0,8523·15=-22,5

-17,33+7,623-12,78=-22,5

-22,487≈-22,5

Верно (проверка для МКТ и МУП)

II. Метод контурных токов (МКТ) – заключается в определении контурных токов и расчете действительных токов в ветвях через известные контурные токи. Количество контурных токов всегда равно числу уравнений, составленных по второму закону Кирхгоффа.

I₁= I₁₁ - I₂₂;                                           I₁= -1,3605

I₂= - I₁₁;                                                I₂= 2,4348

I₃=  - I₃₃;                                               I₃= 1,9266

I₄= I₃₃ –I₂₂;                                           I₄=  -0,8523

I₅=  - I₂₂;                                               I₅= 1,0743

I₆=  I₁₁ – I₃₃.                                         I₆=  -0,5082

I₁₁(R₁+ R₂+ R₆) - I₂₂· R₁ - I₃₃· R₆= -E_J - E₂;

-I₁₁·R₁ + I₂₂(R₁+ R₄+ R₅)  - I₃₃· R₄=0;

-I₁₁·R₆- I₂₂· R₄ + I₃₃(R₃+ R₄+ R₆)=- E₃.

I₁₁= -2,4348;                              I₂₂= -1,0743;                              I₃₃= -1,9266.

Проверка:

-2,4348· 33+6·1,0743+15·1,9266= -45                             -45,0036≈ -45;

-80,3484+ 6,4458+28,899=-45                     

III. Метод узловых потенциалов (МУП) – заключается в определении потенциалов узлов схемы и расчете токов по закону Ома для активного участка цепи. (Предварительно преобразуем источник тока в источник ЭДС).

φ_с=0.

I₁= ;

I₂= ;

I₃= ;

I₄= ;

I₅= ;

I₆= .

Φ_a(g₁+ g₂+ g₅)- φ_b· g₂- φ_d· g₁= (E_J +E₂ ) · g₂;

-φ_a·g₂+ φ_b(g₂+ g₃+ g₆) - φ_d· g₆= E₃ · g₃- (E_J +E₂ ) ·g₂;

-φ_a·g₁- φ_b· g₆+ φ_d(g₁+ g₄+ g₆)  = 0;

φ_b= 5.18;               φ_a= 21.09;              φ_d= 12.9.

Проверка:

21,09·0,3011-5,18·0,0833-12,9·0,1666=3,75

6,3501-0,4314-2,149=3,75

3,76≈3,75

IV. Баланс мощностей. В любой конкретный момент времени мощность, отдаваемая источником тока равна мощности, которая выделяется на приемниках электрической энергии (резисторах).

Р_ист.= Р_пр.

Р_пр. =     

Р_ист.=

148,1762≈152

V.

I_л=-Iaa;                                                 Iл= 0,2027;

I_ш=-I_bb;                                                 I_ш= 1,6216;

I_x=-I_bb - I_aa                                            I_x= 1.4189.

I_aa(R₃+ R₄+ R₆)+ I_bb· R₃=-E₃;

I_aa· R₃ + I_bb(R₂+ R₃+ R₅) =- (E_J +E₂ + E₃).

                                 I_aa=-0.2027

                                    I_bb=-1.6216

Второй закон Кирхгоффа:

По первому контуру:

 I_л· R₄- I_ш· R₅-U_xx =0;

U_xx= I_л · R₄ -I_ш· R₅;

U_xx= 0,202715- 1.6216·19,5= -28,5807.

 Определяем входное сопротивление схемы относительно зажимов выделенной ветви.

Треугольник сопротивлений R₃, R₄, R₆ преобразуем в эквивалентную звезду.

;

;

.

r_вх=R_Э

VII. Потенциальная диаграмма.

φ_c= 0;

φ_e= φ_c-R₃·I₃=-17.33;

φ_b= φ_e+ E₃= 5.17;

φ_k= φ_b+ E_J= 29.17;

φ_n= φ_k– R₂·I₂= -0.04;

φ_a= φ_n+ E₂= 20.96;

φ_c= φ_a – R₅·I₅= 0.02≈0.