Определение вектора напряжений, отнесенного к плоскости. Определение направляющих векторов площадок

Дано:

;      ; ; ;

;     ;

;      ;

;      ; .

;

.

Задание:

1) Найти вектор напряжений , отнесенный к плоскости .

2) Найти нормальную и касательную составляющие вектора напряжений, отнесенные к плоскости .

3) Найти главные напряжения.

4) Определить направляющие векторы площадок , к которым отнесены главные напряжения.

5) Найти максимальное касательное напряжение (), построив диаграмму Мора.

6) Найти нормальное и касательное напряжения по диаграмме Мора при заданных углах и .

7) Найти интенсивность напряжений в точке А.

8) Определить состояние материала в точке А, т.е. состояние деформации.

9) Найти главные деформации в точке А.

10) Найти интенсивность деформации.

11) Проверить выполнение условия не сжимаемости в точке А.

12) Вычислить показатель напряжённого состояния.

Решение:

1. Находим вектор напряжений .

  1.1. Нормирование вектора

  

 ;

 ;  ; .

  1.2. Нахождение .

 ;

 ;

 ;

;

;

;

.

2. Находим нормальную и касательную составляющие вектора напряжений.

;

;

.

3. Находим главные напряжения.

;

;

   В покомпонентном представлении

         Получаем систему   .

Нетривиальное решение системы можно обеспечить, если выполняется условие:

;

; - уравнение Гамильтона – Кэли.

;

 

;

.

 Уравнение Гамильтона-Кэлли может быть сведено к приведённому кубическому уравнению с помощью подстановки:

;

, где:

 ;

;

Решение приведённого уравнения , существует при Р³+Q²<0.

Для него решение Кардано представляется в тригонометрическом виде:

;

;

;

где: .

Определяем

;

;

;

.

 Проверяем  правильность определения главных напряжений:

;

;

.

4.Находим направляющие вектора

а)    

     

б)     

  

в)

5. Построение диаграммы Мора.

               

6.  Нахождение по диаграмме Мора  и , при заданных  и .

;

7.Интенсивность напряжений.

8.Определяем состояние материала.

состояние материла – пластическое.

9. Находим главные деформации .

;

;

.

10.Находим интенсивность деформаций.

;

11. Проверка условия не сжимаемости.

;

- условие не сжимаемости выполняется.

12.Вычисляем показатель напряжённого состояния.

.