Доказательство неравенства. Определение наименьшего значения функции на множестве. Расчет наибольшего члена последовательности (Решения математических задач областной олимпиады)

Страницы работы

5 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Решения задач областной олимпиады

1.  Докажите неравенство  .

Решение. Разделив обе части на , запишем его в виде     и рассмотрим функцию . Тогда данное неравенство принимает вид  (). . При  , т.к. на этом интервале  Следовательно, f(x) убывает на интервале [0, 1), так что – в силу непрерывности – принимает свое наибольшее значение в точке х=0. Но f(0) = 2, поэтому для  f(x)<2, и, в частности, .

2.  Сколько действительных решений имеет уравнение .

Ответ: 1 решение.

Решение. Рассмотрим функцию  в ее области определения . Тогда , и, следовательно, f(x) – возрастающая на  функция, так что заданное уравнение не может иметь более одного корня. Вычислим . По теореме Больцано-Коши, непрерывная функция f(x) принимает все значения между f(1)=0 и f(200), и, в частности, при некотором x равна 4.


3.  Докажите, что функция  не является периодической.

Решение. 1) Покажем, что если дифференцируемая функция имеет период T, то ее производная также имеет период T. Действительно, если f(x+T) = f(x), то , т.е. . 2) Пусть заданная функция имеет период  Т; тогда ее вторая производная  также имеет период T, и, следовательно, функции    имеют период Т. Тогда число Т как период косинуса равно целому кратному его наименьшего периода 2π, т.е. Т = 2kπ (kÎZ). С другой стороны, период функции  равен  и, следовательно,  (lÎZ).      Так как Т не равно 0, то иl  отличны от 0. Но тогда из равенства  получаем, что  – рациональное число, что не верно. Следовательно, данная функция не является периодической.

4.  Найдите наименьшее значение функции f(x) = sin(x) на множестве .

Ответ: sin 1.

Решение: ..  Наименьшее значение функции f(x) = sin(x) на множестве М равно sin(1).

5.  Произведение четырех чисел — корней уравнений х2 + 2bх + с = 0 и х2 + 2сх + b = 0, где b и с — положительны, равно единице. Найдите b и с.

Ответ: b = c = 1.

Решение: по теореме Виета  Но   и т.е. откуда b=1.

6.  Дан треугольник с вершинами A(0; – 4), B(3, 0), C(0, 6). Найдите расстояние вершины  С до биссектрисы угла А. Ответ: .

Решение: , – биссектриса угла А.  и  – орты векторов соответственно.  – направляющий вектор биссектрисы .. Уравнение прямой AD :   или . Расстояние вершины  С до биссектрисы угла А .

7.  Найдите наибольший член последовательности  (.)

Ответ: x2 = 6,5.

Решение:

8.  Найдите предел

Ответ: 1/11.

Решение: –это интегральная сумма функции   f(x) = x10  на отрезке [0, 1]. Функция f(x) = x10   интегрируема на отрезке [0, 1]. Следовательно,

9.  Найдите экстремумы функции Ответ: минимум в точке x = 0 равный 0.

Решение: . При  –невозрастающая функция на интервале . При  – неубывающая функция на интервале . Функция имеет единственный экстремум, а именно, минимум в точке 0 и он равен нулю.

10.  Верно ли, что из 100 произвольных целых чисел всегда можно выбрать: а) 15 таких, у которых разность любых двух делится на 7, б) 16 таких, у которых разность любых двух делится на 7? Ответ:a)  да, б) нет.

Решение: Сначала заметим, что в множестве целых чисел разность любых двух делится на 7 тогда и только тогда , когда все числа этого множества имеют одинаковый остаток при делении на 7. Поэтому разделим 100 заданных чисел на 7 групп по остаткам при делении на 7. Так как групп 7, а чисел – 100 , по принципу Дирихле найдутся 15 чисел, попавших в одну группу и, следовательно, удовлетворяющих условию задачи. Значит пункт а) ответ: верно. Пункт б) ответ отрицательный. Выберем все для простоты первые 105 натуральных  чисел. Разобьем их на 7 групп по остаткам при делении на 7. Тогда в каждой группе  будет по 15 чисел. Выбирая 16 чисел, мы не можем всех их взять из одной группы. По принципу Дирихле найдутся два числа из разных групп. Разность этих чисел не будет делиться на 7.


11.  Найдите действительные решения  системы уравнений Ответ:

Решение: 1) a = 0. Из второго уравнения следует, что x1=0, x2=0, … , xn=0. 2) . Делим каждое уравнение системы на  правую часть соответствующего уравнения. Обозначим:  . Получим систему   Из второго уравнения следует, что  для всех i, и следовательно  для всех i. . Из третьего уравнения вычитаем второе уравнение, получаем . .  Отсюда .  Если для некоторого i   , то из второго уравнения следует, что для всех остальных i  . Теперь ответ следует из .

12.  Пусть функция при всех  удовлетворяет дифференциальному уравнению. Верны ли следующие утверждения:

а) если  при всех, то при всех;

b) если  при всех, то при всех?

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Математика
Тип:
Контрольные работы
Размер файла:
1 Mb
Скачали:
0