Комплексные числа. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа

Страницы работы

4 страницы (Word-файл)

Фрагмент текста работы

220400                                                  Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 1. Лекция 4. Комплексные числа

План

1.  Комплексные числа. Поле комплексных чисел. Комплексно-сопряженные числа.  2. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрические формы комплексного числа. 3. Корни из комплексных чисел. 4. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.

Литература: Ильин В.А., с.196-200. Письменный Д., с. 186-192. 

§ 1. Комплексные числа. Поле комплексных чисел. Комплексно-сопряженные числа

Определение 1.1. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел(x, y).

Обозначаем z =(x, y). Множество всех комплексных чисел обозначаем символом С.

Число x называется действительной частью, а y - коэффициентом при мнимой части комплексного числа z. Обозначаем x = Re z, y = Im z.

Комплексно число (x, 0) отождествляется с x, т.е. x  = (x, 0). Тогда комплексные числа  (1, 0) и (0, 0) отождествляются соответственно с 1 и 0.

Если y ¹ 0, то комплексно число (x, y) называется мнимым, а число (0, y) - чисто мнимым. Число (0, 1) называется мнимой единицей и обозначается символом i.

Определение 1.2. Два комплексных числа z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются равными, если соответственно равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях, x1 = x2, y1= y2.

Определение 1.3. Суммой  комплексных чисел z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются комплексное число z1 +  z2 =(x1 + x2, y1 + y2).

Определение 1.4. Произведением комплексных чисел z1 =(x1, y1) и z2 =(x2, y2) называются комплексное число z1 z2 =( x1x2 - y1y2, x1 y2 + x2y1).

Определение 1.5. Разностью z1 - z2 комплексных чисел z1и z2называются такое комплексное число z, что z2 +  z  = z1.

Определение 1.6. Частным z1: z2 комплексных чисел z1и z2 называются такое комплексное число z, что z2 z  = z1.

Примеры. (2, 1) + (3,-5) = (2+3, 1-5) = (5, -4).

(2, 1)×(3,-5) = (2×3-1×(-5), 2×(-5)+1×3) = (11, -7).

Определение 1.7. Комплексные числа z = (x, y) и называются комплексно сопряженными.

Примеры. (2, 1) + (3,-5) = (2+3, 1-5) = (5, -4),

(2, 1)×(3,-5) = (2×3-1×(-5), 2×(-5)+1×3) = (11, -7),

z× = (x, y)× (x, -y) = (xx+ y y, x(-y) + xy) = (x2 + y2, 0)= x2 + y2,

i×i = (0, 1)×(0, 1) = (-1, 0) = -1.

Теорема 1.1. Множество С всех комплексных чисел является полем относительно операций, определенных выше.

Доказательство. Так как для любых комплексных чисел сумма и произведение определены однозначно, то операции сложения и умножения на множестве С алгебраические. Докажем сначала, что С кольцо (проверим свойства в определениях 3.1).

1.  Пусть z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) , z3 =(x3, y3). Тогда

z1 +( z2 + z3) = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)),

(z1 + z2) + z3 = (x1 + x2, y1 + x3) + (x3, y3) = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3).

По свойствам действительных чисел x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3, y1 + (y2 + y3) = (y1 + y2) + y3. Тогда по определению 1.2 z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.

2.  z1 + 0 =(x1, y1) + (0, 0) = (x1+0, y1+0) = (x1, y1) = z1.

3.  Возьмем - z1 =(-x1, -y1). Тогда z1 + (-z1) = (x1, y1) + (-x1, -y1) = (x1+ (-x1), y1+(-y1)) = (0, 0) = 0.

Проверяя свойства 4, 5, 6 по аналогии со свойством 1 получим, что С - кольцо.

Проверим теперь свойства 1-3 в определении 3.4 поля.

1.  z1×1 =(x1, y1)×(1, 0) = (x1×1- y1×0, x1×0+ y1×1) = (x1, y1) = z1.

2.  z1 z2 =(x1x2 - y1y2, x1 y2 + x2y1) = (x2x1 - y2y1, x2 y1 + x1y2) = z2 z1.

3.  Покажем, что для числа z1 =(x1, y1)  ¹ (0, 0) существует такое число z =(x, y), что z1 z = 1. В силу определения 1.4 последнее равенство можно переписать в виде ( x1x - y1y, x1 y + xy1) = (1, 0). Тогда по определению 1.2 получим систему

Решая полученную систему находим Тогда    и z×z-1=1.

Определение 1.7. Любое подполе поля комплексных чисел называется числовым полем.

В силу лекции 1 определения 2.5 для того, чтобы подмножество P Ì С, содержащее число ¹ 0, было числовым полем необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель не равен нулю, любых чисел из P принадлежали бы P.

Заметим, что наименьшее числовое поле это поле Q рациональных чисел.

Разность комплексных чисел z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) находится по формуле:

z1 - z2 = z1 +(-z2) = (x1 - x2, y1 - y2).                                                         (1.1)

Частное комплексных чисел z1 =(x1, y1), z2 =(x2, y2) ¹ (0, 0) находится

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
161 Kb
Скачали:
0