Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений средствами Mathcad и Maple, страница 2

В системе MAPLE также автоматизированы не только вычисления, но и сам процесс программирования.

В появляющемся окне, для совершения несложных вычислений достаточно записать выражение в строке ввода после приглашения >.При этом точка с запятой после выражения означает, что результат его вычисления будет выведен на экран, а двоеточие отменяет вывод и может использоваться как знак разделителя при записи в одной строке нескольких выражений. Аналогичным образом записываются выражения с переменными. Ниже представлена таблица в которой приведены наиболее часто используемые математические функции.

Sin(x)	Синус х
Cos(x)	Косинус х
Tan(x)	Тангенс х
Cot(x)	Котангенс х
Exp(x)	Экспоненциальная функция х
Ln(x)	Натуральный логарифм х
Log10(x)	Логарифм х по основанию 10
Sqrt(x)	Квадратный корень из х

В любом месте экрана можно писать комментарии, вызвав Вставка – Текстовая область или нажав кнопку Т на панели инструментов.

Для ввода значения какой – либо величины надо написать >а:=45. Если в следующей строке набрать >у:=а/а*2, то вывод значения происходит после нажатия кнопки ввода .

Ошибочные записи система высвечивает красным и дает краткое пояснение.

Возможность оперировать не только скалярными величинами, но и векторами и матрицами. Прежде чем воспользоваться функциями для работы с векторами и матрицами, необходимо подключить библиотечный модуль linalg: >with(linalg):.

Функция вводится написанием формулы >у:х->=х*4/(17-х). После этого можно написать >у(0.1); и получить значение у в данной точке.

Автоматизировано вычерчивание графиков. Для построения двухмерных графиков служит функция plot(f(x), x=x_min..x_max, y=y_min..y_max, opcii), где f(x) –функция, чей график строится, x=x_min..x_max –диапазон изменения независимой переменной, y=y_min..y_max, – диапазон отображения графика по оси координат, opcii – набор опций, задающих стиль построения графика(толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и др.).

Автоматизировано решение уравнений и систем уравнений.

Глава 1

П. 1 Формулировка задания.

Задание 1.

Средствами MATHCAD и  MAPLE на сетка [2, 5] найти решение системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка

   y1’=1/(3+exp(-y1))  

y2’=1/(2+exp(-y1))

c начальными условиями у1(2)=0 и у2(2)=-3

Методом Рунге – Кутта с переменным шагом, методом Булирша – Штера, методом Эйлера по рекуррентным формулам. Оценить погрешность по методу Рунге.

Построить графики полученных решений.

Задание 2.

Построить математическую модель задачи, решить задачу математически и символьно в MATHCAD или  MAPLE , решить численно в MATHCAD и  MAPLE(любым методом). Построить графики полученных решений. Оценить погрешность численного решения, сравнив его с точным решением, найденным аналитически.

Задача:

Катер движется в спокойной воде со скоростью 10 км/ч. На полном ходу его мотор был выключен, и через 20 секунд скорость катера уменьшилась до 6 км/ч. Считая, что сопротивление воды движению катера пропорционально его скорости, найти:

·  скорость катера через 2 минуты после остановки мотора.

·  расстояние, пройденное катером в течение первой минуты после остановки мотора.

П.2 Необходимые сведения для решения заданий.

Математический анализ.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида:

F(x, y, y’, y” ,…, y⁽ⁿ⁾)=0

где F – известная функция данных аргументов с известной областью определения; х – независимая переменная; у – функция переменной х, подлежащая определению; y’, y” ,…, y⁽ⁿ⁾ – ее производные. При этом предполагается, что у является явным аргументом функции F. Любой  из остальных аргументов функции может не входить в соотношение в явном виде.