Модель экстраполятора первого порядка. Изучение свойств моделей линейных ИС. Данные расчета частотных характеристик экстраполятора первого порядка, страница 4

корней расположен в каждой полу полосе²⁾. Теоретически количество таких комплектов бесконечно, так же, как бесконечно количество

боковых спектров (см. рис.1.3.).

2.3. Z–преобразование

Стремление исключить бесконечные суммы из расчетов по формулам (9.4) и подобным привело ряд ученых к мысли о целесообразности использования другого конформного преобразования при математическом моделировании ДСАУ. Это дискретное преобразование было названо "зет - преобразованием" и обозначено символом . Основные свойства были сформулированы Э. Джури [1], и Дж. Раггацини (в США) и Л. Кузиным (в СССР) [6]. Оно получается удобной заменой аргумента: z=e^q в выражении (8.4.), тогда получим:

.                                   (10.4)

________________________________________________________________--

 

²⁾ Примечание 2. Практическое пользование дискретным преобразованием Лапласа сложно. Поэтому мы не изучаем его подробно. Например, дискретные передаточные функции (ДПФ) имеют такой вид:

Несмещенная ДПФ

.

Смещенная ДПФ                                                                                                   (9.4.)

., где ПФ приведенной непрерывной части (экстраполятор - объект) K(q) вычисляется так:

.

Представьте процедуру вычисления частотных характеристик через эти формулы!

Как отображается q-плоскость в z-плоскость? Рассмотрим отрезок мнимой оси Im q=j для –π<<+π, принадлежащий основной полосе. Он, согласно правилам вычисления комплексной экспоненты, превращается в окружность с центром в начале координат и единичным радиусом.

При этом заштрихованная область плоскости q соответствует кругу, ограниченному этой окружностью (см. рис. 5.4.).

При -преобразовании исчезает многозначность дискретного преобразования Лапласа, поскольку отрезки мнимой оси, ограничивающие боковые полу - полосы плоскости q , в плоскости z также "накладываются на окружность единичного радиуса". Соответственно, бесконечное количество

Рис. 5. 4.   комплектов корней из плоскости q в плоскости z трансформируются в один комплект, расположение которого зависит от устойчивости  модели ДСАУ

Передаточные функции разомкнутых ДСАУ будут:

К(z,0)=M(z,0)/N(z,0), К(z,ε)=M(z,ε)/N(z,0),

Существенно упрощаются модели и замкнутых ДСАУ:

Ф(z,0)=M(z,0)/N_з(z,0). =M(z,0)/[N(z,0)+M(z,0)],

Ф(z, ε)=M(z,ε)/N_з(z,0)=M(z, ε)/[N(z,0)+M(z,0)],                               (11.4.)

где N(z,0)[или N_з(z,0)] =(z–z₁)*(z–z₂)*…(z–z_K)*…(z–z_n), "n" порядок разностного уравнения N(z,0) и z_K=exp (q_K) любой из корней этого уравнения.

Функцию F(z) в плоскости "z," как комплексное число, можно записать в таком виде:

F(z)=Re[F(z)] +jIm[F(z)]=X(z)+jY[z].                                                     (12.4)

Отметим важное свойство моделей дискретных систем, подвергнутых - преобразованию. Корни N(z,0) могут быть любыми, но только попадание всех корней в указанную единичную окружность (|z_K| <1 для всех k) является необходимым и достаточным условием устойчивости линейной дискретной системы.

Важное резюме. В z-плоскости функция F(z) изображается только как комплексное число вида (12.4.). Здесь нет понятия частоты. Поэтому частотные методы исследования моделей ДСАУ в z-плоскости непригодны.

2.4. Свойства –преобразования

Здесь рассмотрены лишь несколько свойств (теорем). Более полный список можно найти в справочнике (см. например: Г. Корн и Т.Корн "Справочник по математике..."), а так же в [1, 2, 6, 9 и др.]. Свойства применимы как для смещенных (n, ε), так и несмещенных (n, 0) значений РФ, поэтому в нижеуказанных формулах эти символы опущены.