Полученный чертеж обладает закономерностью: зная положение прямой g и пары соответственных точек (например, В1 и В2), можно для любой новой точки (например, С1) восстановить соответственную ( С2 ) по следующему алгоритму:
|
1) Пересечь В1С1 с прямой g в точке А1(А2). 2) Через точку С1 провести параллель f к прямой В1В2 . 3) На пересечении прямых f и А2В2 найти точку С2 – искомую. |
(16) |
Алгоритм (16) можно рассматривать как правило для отыскания образов точек внутри одной плоскости (а не двух разных - ω1 и ω2). Забудем о происхождении фигур на рис.51 и будем обсуждать новый тип преобразования плоскости (родство).
Определение. Родством называют преобразование плоскости, которое задается некоторой прямой g (ось родства) и парой соответственных точек В1 и В2 . Для любой точки С1 плоскости образ С2 строится по алгоритму (16).
Преобразование родства будем обозначать буквой F. Поскольку расположение фигур и их образов «наследуется» родством из параллельного проектирования, для любых трех точек одной прямой их образы будут тоже коллинеарны, причем сохранится их простое отношение. Следовательно, родство является аффинным преобразованием плоскости (его частным видом).
Пример 1. На рис.52 изображено сочетание образов и прообразов, когда концы отрезка В1С1 расположены по разные стороны от оси g .
|
Рис.52 |
«Происхождение» такого случая из параллельного проектирования объясняется тем, что при совме- щении «пластин» ω1 и ω2 точка В1 на двухслойной картине оказалась «в верхнем слое», а С1 – в нижнем. Тем не менее, алгоритм (16) срабатывает и в этом случае : 1) Пересекаем В1С1 2) Через С1 проводим f ║ В1В2 . 3) Пересекаем f |
Пример 2. Родство задано осью g и парой соответственных точек В1 и В2 (рис. 53). Построить образ квадрата М1N1Р1К1 , сторона М1К1 которого параллельна оси родства.
Решение. Как и при параллельном проектировании, при родстве отрезки отображаются в отрезки, n – угольники - в n-угольники. Поэтому нужно вначале построить образы четырех вершин.
|
Рис.53 |
Например, для точки Р1 повторяем действия алгоритма (16): 1) Пересекаем Р1В1 2) Через Р1 проводим f ║ В1В2 . 3) Пересекаем
f Остальные вершины строятся аналогично (рис.53). Как и при параллельной проекции, здесь окажется М2К2 ║ g (т.к. М1К1 ║ g). |
Замечание. При родстве параллельные прямые отобразятся в тоже параллельные, поэтому образом параллелограмма будет параллелограмм.
Доказательство. Если бы образы параллелей пересеклись, то появилась бы точка, прообраз которой должен принадлежать одновременно двум прообразам прямых, что противоречит их параллельности. Поэтому параллельные стороны четырехугольника переходят в параллельные. Ч.т.д.
Задача. Можно ли (рис.53), повернув квадрат вокруг вершины Р1 , добиться, чтобы образ М1N1Р1К1 для оказался прямоугольником?
Примечание. Опыт показывает, что если вращать на оконном стекле прижатую к нему тетрадь, то в некоторых положениях ее тень действительно становится прямоугольником.
Анализ. Итак,
родство определено осью g и парой соответственных точекР1 и Р2 . Нужно провести через Р1 две
перпендикулярные прямые l1 и s1 так, чтобы их образы l2
и s2 пересекались в Р2
тоже под прямым углом. Если такие прямые существуют, то они должны пересекаться
на оси родства: l1 
l2=L , s1 s2=S (рис.54, а). Тогда отрезок LS будет
виден из Р1 и Р2 под прямым углом, то есть эти точки
должны лежать на окружности с диаметром LS. Центр этой
окружности будет на серединном перпендикуляре h к
отрезку Р1Р2.
Построение. На пересечении оси g и серединного перепендикуляра h получаем точку О. Если окружность с центром О радиуса ОР1 пересечет ось g в точках L и S, то прямые LP1 и SР1 будут искомыми перпендикулярами l1 и s1 (рис.54, б).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
