Основы теории случайных сигналов. Случайные величины (СВ) и их характеристики. Спектральное представление стационарного случайного процесса (ССП). АКФ и ЭС ССП

Страницы работы

15 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Лекция 12-13

Основы теории случайных сигналов

1) Случайные величины (СВ) и их характеристики.

2) Случайные процессы (СП) и их характеристики.

3) Спектральное представление стационарного случайного процесса (ССП). АКФ и ЭС ССП.

1. Практически все сигналы могут быть представлены случайной моделью. Случайный сигнал характеризуются тем, что его мгновенные значения не могут быть заранее предсказаны и вычислены.

СВ анализируются в теории вероятности. Вероятностные законы возникают всегда, если физическая система порождающая сигнал, является системой более мелких подсистем, совершающие некоторое индивидуальные движения, в большей или меньшей степени независимая друг от друга.

В основе теории вероятности лежит понятие полного множества элементарных сходов (случайных событий):  - исходы некоторого случайного эксперимента. Каждому событию  ставится в соответствие  - вероятность.

Аксиомы теории вероятности:

1) .

2) .

Если A – некоторое сложное событие, то его вероятность равна сумме всех элементарных вероятностей:

 

Вероятность – абстрактная величина. Эмпирически она оценивается частотой благоприятных исходов. Если проведено N независимых испытаний, причем n раз наблюдалось событие A, то выборочная оценка вероятности P(A) будет равняться:

                                                                                                               (1)

 

 

Функция распределения (ФР) и плотность вероятности (ПВ).

Пусть X – случайная величина (СВ), то есть всевозможные вещественные числа x, принимающие случайные значения на (-;+). Тогда ФР СВ X – это неслучайная функция F(x) вещественного аргумента x.

 

Если X принимает любые значения, то F(x) является гладкой неубывающей функцией, значения которой лежат в интервале . При этом F()=1, F(-)=0.

Безымянный66.bmp

Производная от ФР – плотность распределения вероятности.

 

Очевидно, что p(x)dx – есть вероятность попадания СВ X в интервал (x;x+dx).

 

Для непрерывной СВ x p(x) представляет собой гладкую функцию. Если x – дискретная СВ, то есть принимающая конкретные значения {x1,x2,…,xn} с вероятностями {P1,P2,…,Pn}, то:

.

Для плотности вероятности как дискретной, так и непрерывной СВ справедливы условия:

1)

2)  - свойство нормировки.

3)  - заданная функция от x (исхода случайного испытания), то ее среднее значение равно:

                                                                                       (2)

Из (2) следует, что наибольший вклад дают те значения x, при которых одновременно велики  и .

Числовые характеристики СВ:

1) Математическое ожидание (МО):

                                                                                         (3)

Оно обобщает в вероятностном смысле понятие среднего арифметического.

2) Средний квадрат СВ:

                                                                                                (4)

3) Дисперсия:

                                                            (5)

 

4) Средне квадратическое отклонение (СКО):

                                                                                                                (6)

Это количественная оценка разброса результатов отдельных случайных испытаний относительно выбранного среднего.

Равномерное распределение СВ:

Пусть некоторое СВ X может принимать значения из области , причем вероятности попадания в любые внутренние подинтервалы одинаковой ширины  равны. Тогда плотность вероятности:

 

Безымянный67.bmp

ФР:  

Безымянный68.bmp

 - совпадает с центром интервала (;)

 

Равномерное распределение часто используется в теории погрешности.

Гауссово – нормальное распределение:

наиболее важный закон распределения:

 - плотность распределения                                                 (7)

Определяется двумя числовыми параметрами.

График представляет собой колоколообразную кривую с точкой максимума x=m.

Безымянный69.bmp

m определяет положение пика, а  - его величину и ширину колокола.

Функция распределения Гауссовой интегральной величины:

                                                                                   (8)

График имеет вид монотонной кривой и изменяется от 0 до 1.

Безымянный70.bmp

2. Теория СВ изучает случайные явления, рассматривая их как некоторые зафиксированные результаты эксперимента.

Для описания сигналов являющихся СВ, изменяющимися во времени, методы классической теории вероятности недостаточны, подробнее изучает теория случайных процессов.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
1 Mb
Скачали:
0