Спектры периодических сигналов. Спектральный способ описания периодических сигналов. Действующие, средние значения и мощность периодических сигналов

Лекция 4-5-6

Спектры периодических сигналов

1. Спектральный способ описания периодических сигналов.

2. Действующие, средние значения и мощность периодических сигналов.

3. Спектры периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов.

4. Спектры периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов.

5. Связь между формой сигнала и его спектром.

1. Важнейшими формами представления сигнала являются классические способы его описания: временной, спектральный (сумма ортогональных составляющих, образующих ортонормированную систему гармоник, то есть разложение в ряд Фурье).

Справка:

любая периодическая функция V(x) с периодом 2π, удовлетворяющая в пределах периода условия Дирихле, может быть представлена следующим рядом Фурье:

                                                            (1)

Исходя из этой формулы, получим систему (2):

Пусть сигнал описывается временной функцией f(t) с произвольным периодом T=2π/Ώ, вводя новую переменную t=x/Ώ, приходим к функции f(x/Ώ)=V(x) с периодом ΏT=2π, разложение которой в ряд Фурье производится с помощью выражений (1) и (2).

Для f(t):

x= Ώt

dx = Ώdt = (2π/T)dt

V(x) = f(t)

Тогда функция f(t) принимает вид:

                                                          (3)

Получим систему (4):

Ряд (3) может быть представлен в иной форме:

                                                                     (5)

                                                                                                     (6)

Периодический сигнал можно представить в виде наложения постоянной составляющей и бесконечного числа гармоник колебаний с частотами:

Гармонические колебания ; 2; 3;…, называется основной или первой, второй, третьей, …, гармониками. Постоянная составляющая равна среднему значению колебания за период.

Рисунок 1

Полное спектральное представление сигналов - последовательность или множество величин:

{Ώ₁, Ώ₂, Ώ₃, …} – спектр частот.

{C₁, C₂, C₃, …} – спектр амплитуд.

{ψ₁, ψ₂, ψ₃, …} – спектр фаз.

Большое применение на практике получили АЧС и ФЧС, рисунок 2 – совокупности спектральных линий, представляющих собой перпендикуляры к оси частот, отложенные в точках Ώn=n*Ώ, n=1,2,3,…, так что ординаты их равны:

С₀/2, C₁, C₂, …

ψ₁, ψ₂, ψ₃, …

рисунок

Рисунок 2

Комплексная форма записи ряда Фурье:

                                                                                        (7)

В формуле (7) комплексные формулы определяются:

                                                                  (8)

В этом случае шкала частот дополняется отрицательной полуосью, АЧС становится симметричной относительно оси ординат, а ФЧС – начала координат:

Рисунок 3

Временной и спектральный способы представления сигналов равноправны и взаимозаменяемы, это разные формы описания реально существующих процессов.

2. Действующее средне квадратическое (СК) значение периодической функции i(t).

                                                                                               (9)

Раскладывая i(t) в ряд Фурье по формуле (5) находим:

                                                                                        (10)

Второй интеграл при s≠q=0, так как проинтегрированные функции ортогональны. А первый интеграл представляет сумму квадратов действующего значения постоянной составляющей и всех гармоник.

                                                                    (11)

=                                                                (12)

Из (11) и (12) следует, что действующее значение периодического несинусоидального тока или напряжения равняется корню квадратному из суммы квадратов постоянных составляющих и квадратов действующих значений всех его гармоник.

Среднее значение периодической несинусоидальной функции равняется:

                                                                                           (13)

Активная мощность – среднее значение мгновенной мощности.

Используя разложение U и i в ряд Фурье, получим:

                                                                                                   (14)

Так как:

     (15)