Математика \ Математический анализ

Нявызначаны інтэграл. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла. Азначэнне нявызначанага інтэграла, страница 7

►Сапраўды, . У апошнім інтэграле зробім замену . Падстаўляючы ў папярэдні выраз, атрымаем . ◄

4º. Інтэграванне часткамі.

Тэарэма 3.Калі функцыі і маюць на адрэзку непарыўныя вытворныя, то праўдзіцца формула інтэгравання часткамі.

□ З роўнасці маем . Інтэгруючы апошнюю роўнасць на , маем , што раўназначна формуле, якую трэба было даказаць. ■

Прыклад 7. Вылічыць .

► Карыстаючыся формулаю інтэгравання часткамі, маем .◄

§4.12. Дастасаванні вызначанага інтэграла.

1º.Плошча плоскай фігуры.

Адвольнае абмежаванае мноства пунктаў плоскасці будзем называць плоскаю фігурай.

1.1) Плоскую фігуру называюць крывалінейнаю трапецыяй.

Няхай ёсць падзел адрэзка з дробнасцю , а і – адпаведна верхняя і ніжняя сумы Дарбу.

З рысунка відаць, што , дзе – плошча крывалінейнай трапецыі . Паколькі згодна з крытэрам інтэгравальнасці функцыі , то і плошчу крывалінейнай трапецыі будзем лічыць роўнай значэнню гэтага інтэграла, г. зн. .

Калі плоская фігура задаецца ўмоваю то плошча гэтай фігуры роўная розніцы плошчаў крывалінейных трапецыяў і .

Таму .

Такім чынам, .

Зазначым, што гэтая формула застаецца праўдзіваю і ў тым выпадку, калі функцыі і не з’яўляюцца неадмоўнымі.

Сапраўды, калі

то з абмежаванасці функцый і (Чаму?) вынікае існаванне такога ліку , што . Паколькі выражае плошчу новай фігуры, якая атрымліваецца пры дапамозе паралельнага пераносу фігуры , то і плошча фігуры роўная гэтаму інтэгралу. Пры гэтым маем .

Прыклад 1. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывымі і .

►

.◄

1.2) Няхай крывая зададзена ў палярнай сістэме каардынатаў , дзе – непарыўная функцыя. Плоскую фігуру будзем называць крывалінейным сектарам.

Няхай – некаторы падзел адрэзку з дробнасцю падзела , а – некаторая выбарка пунктаў . Паколькі плошча кругавога сектара з радыюсам , які змяшчае цэнтральны вугал , роўная [атрымліваецца з прапорцыі ], то плошча крывалінейнага сектара набліжана роўная , дзе . Калі , то . Такім чынам

Прыклад 2. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой . ►Спачатку зробім рысунак фігуры

◄

1.3) Для вылічэння плошчы крывалінейнай трапецыі, калі яе верхняя мяжа зададзена параметрычна , прычым , (тут важна , гэта будзе, калі ) трэба ў формуле зрабіць замену зменнай . Пры гэтым . Атрымаем .

Прыклад 3. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой .

► Эліпс сіметрычны да абедзвюх восяў каардынатаў, таму

У прыватнасці, калі , атрымаем вядомую формулу плошчы круга .◄

2º. Даўжыня крывой.

2.1) Разгледзім плоскую крывую , дзе – непарыўная на функцыя. Няхай – адвольны па-дзел адрэзка . Крывую падзе-лім пунктамі . Злучым суседнія пункты хордамі і атрымаем умежаную ў крывую ламаную, якую абазначым .

Няхай – даўжыня хорды гэтай ламанай, – даўжыня найбольшай з хордаў, а – даўжыня ламанай .

def. Лік называецца даўжынёй крывой і абазначаецца , калі . Пры гэтым кажуць, што лік ёсць ліміт даўжыняў ламаных , умежаных у крывую пры і пішуць . Крывую, якая мае дўжыню, называюць выпрастальнаю.

Дапусцім, што мае на непарыўную вытворную (г. зн. крывая гладкая). Няхай – пункты падзелу крывой, . Тады , а

Калі , а таму

(1)

2.2) Няхай гладкая крывая зададзена параметрычна , , прычым – непарыўныя на і (у кожным пункце крывой павінна існаваць вытворная), г. зн. – манатонная. А паколькі , то – нарастальная, г. зн. . Калі ў (1) зрабіць замену , атрымаем