Нявызначаны інтэграл. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла. Азначэнне нявызначанага інтэграла, страница 10

► Першаісная функцыі  ёсць  – абмежаваная, а функцыя – манатонная і бясконца малая на прамежку . Паводле прыкметы Дырыхле інтэграл  – збежны.

Даследуем інтэграл на абсалютную збежнасць. З няроўнасці  нічога не вынікае. Але  і пры гэтым інтэграл  паводле прыкметы Дырыхле ёсць збежны.

Калі б інтэграл  быў збежны, то з няроўнасці  мелі б, што  – збежны, але ж ён разбежны. Такім чынам,  – разбежны, а інтэграл  – умоўна збежны. ◄

Прыклад 2. Даследуем інтэграл Фрэнэля  на збежнасць. 

►Запішам падынтэгральную функцыю у выглядзе . Паколькі першаісная  – абмежаваная, а функцыя  манатонна імкнецца да нуля, то на падставе прыкметы Дырыхле інтэграл Фрэнэля – збежны.

Зазначым, што інтэграл  – разбежны. ◄

§4.16. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый.

def. Калі функцыя  ёсць неабмежаваная ў пункце , і інтэгравальная на кожным адрэзку  ( упрыватнасці  ёсць абмежаваная на адрэзку ), то пункт  называюць асаблівым пунктам функцыі .

def. Ліміт

                                                            (1)

называюць неўласцівым інтэгралам ад неабмежаванай функцыі на адрэзку  (або неўласцівым інтэгралам другога роду, НІ-2) і абазначаюць

.                                                (2)

Калі існуе канечны ліміт (1), то Ні-2  (2) называюць збежным. Калі ж ліміт (1) не існуе, то кажуць, што інтэграл (2) ёсць разбежны.

Заўвага 1. Калі , то інтэгралы  і  збягаюцца або разбягаюцца адначасова.

Заўвага 2. Формулу (2) бывае больш зручна запісваць у выглядзе

.                                          (3)

Аналагічна азначаецца неўласцівы інтэграл , калі  ёсць асаблівы пункт функцыі

.

Калі ж пункт  ёсць асаблівы пункт функцыі , і інтэгралы  і  – збежныя, то

=+.

Далей для пэўнасці мы будзем вывучаць НІ-2, якія азначаюцца формуламі (2), або (3).

Паміж НІ-1 і НІ-2 існуе пэўная сувязь.

Сапраўды, няхай  ёсць інтэгравальная на  і  – яе асаблівы пункт. У інтэграле з (3)  зробім замену

і атрымаем . Такім чынам, прыходзім да роўнасці

.

Гэта азначае, што для НІ-2 праўдзяцца ўласцівасці, аналагічныя адпаведным уласцівасцям для НІ-1, а на збежнасць НІ–2 можна даследаваць як НІ–1, які атрымліваецца з яго пасля замены .

Прыклад 1. Даследуем на збежнасць .

► Калі ў гэтым інтэграле зрабіць вышэй згаданую замену

, то мы прыходзім да інтэграла , які ёсць збежны толькі пры  або . Такім чынам, разгляданы намі інтэграл ёсць збежны пры  і разбежны пры . У прыватнасці,  ёсць збежны толькі пры .  ◄

Аналагічна, як і для НІ-1 можна даказаць наступныя тэарэмы.

Тэарэма 1 (прыкмета параўнання). Няхай . Калі  ёсць збежны, то  таксама збежны. Калі ж  разбежны, то .

Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Калі функцыі  і  і мае месца   то абодва інтэгралы  і  збягаюцца або разбягаюцца адначасова. У прыватнасці гэта мае месца, калі   .   

Вынік Калі , то  збежны толькі пры .

Прыклад 1. Даследуем на збежнасць .   

► Паколькі , то , а таму . Такім чынам, інтэграл  разбежны, паколькі . ◄

def. НІ-2  называецца абсалютна збежным, калі збягаецца інтэграл . З абсалютнай збежнасці інтэграла вынікае яго збежнасць.

def. Калі НІ-2  ёсць збежны, а інтэграл  – разбежны то НІ-2 называецца ўмоўна збежным.

Прыклад 3. Даследуем на збежнасць інтэграл  .   

► Паколькі , то пабудуем для падынтэгральнай функцыі эквівалентныя у пунктах  і :

1). – інтэграл збежны;

2). – інтэграл разбежны.

Такім чынам, інтэграл  ёсць разбежны.  ◄

Прыклад 4. Даследуем на збежнасць інтэграл  .   

► Паколькі  , то ў пункце  інтэграл збежны, а паколькі , то і ў пункце  інтэграл збежны. Такім чынам, інтэграл збежны.  ◄

Прыклад 5. Даследуем на збежнасць інтэграл  .   

► Паколькі  , то першы інтэграл існуе як вызначаны, а другі ёсць збежны паводле прыкметы Дырыхле. Такім чынам, інтэграл збежны.◄

Прыклад 6. Пры якіх значэннях  інтэграл   ёсць збежны?  

► Заўсёды разбежны. ◄