Вучэбны дапаможнік для студэнтаў фізічнага і радыёфізічнага факультэтаў у пяці частках, страница 5

1.35.  Няхай  і –X=. Дакажыце, што sup(–X) = –inf X, inf(–X) = –sup X.

1.36.  Няхай ,  і , . Дакажыце, што: 1) sup(X + Y) = supX + supY;       2) inf(X + Y) = infX + infY; 3) sup(X – Y) = supX – infY;          4) inf(X – Y) = infX – supY.

1.37.  Дакажыце, што нуль ёсць ніжняя мяжа мностваў: 1) ;      2) ; 3) ;     4) .

1.38.  Вызначце рэчаісныя лікі x і y так, каб : 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.39.  Вылічыце здабытак  і дзель , калі: 1) ;     2) ; 3) ,             4) .

1.40.  Знайдзіце значэнне выразу , калі: 1) ; 2) .

1.41.  Развяжыце сістэму раўнанняў: 1) ;   2) .

1.42.  На камплекснай плоскасці пункты  ёсць тры паслядоўныя вяршыні паралелаграма. Знайдзіце чацвёртую вяршыню, калі: 1) ; 2) 

1.43.  Знайдзіце модуль камплексных лікаў: 1) ; 2) .

1.44.  Дакажыце, што  ёсць адлегласць паміж пунктамі  і  камплекснай плоскасці.

1.45.  Знайдзіце мноства пунктаў камплекснай плоскасці, якія задаюцца ўмовамі: 1) ;    2) ;   3) ;      4) ; 5) ;     6) ;     7) ;   8) .

1.46.  Развяжыце сістэмы раўнанняў: 1) ;  2) ;                                                       3) ;    4) .

1.47.  Знайдзіце аргументы камплексных лікаў: 1) ;    2) ;     3) ;    4) ;  5) ;  6) ; 7) ;  8) .

1.48.  Падайце камплексны лік z у трыганаметрычнай форме: 1) ;     3) ; 2) ;       4) z=.

1.49.  Запішыце камплексны лік z у алгебраічнай і трыганаметрычнай форме: 1) z = ;    3) z = ; 2) z = ;         4) z = .

1.50.  Знайдзіце вектар, у які пераходзіць вектар  пасля павароту на 120°: 1) у дадатным кірунку;  2) у адмоўным кірунку.

1.51.  Знайдзіце велічыню вугла, на які трэба павярнуць вектар , каб атрымаць вектар, калі: 1) z₁ = 2 – 3 + і(3 + 2),  =4 +6і;                                                   2) z₁ = 3 + i2,  = –5 + і.

1.52.  Запішыце наступныя камплексныя лікі ў алгебраічнай форме: 1) ;       2) ;       3) ; 4) ;  5) ;                      6) .

1.53.  Знайдзіце ўсе значэнні , калі: 1) z = 8і, n = 3; 2) z = 1, n = 4; 3) z = –1, n = 3; 4) z = 1 + i, n = 2.

1.54.  Развяжыце раўнанні: 1) ;   2) ;                     3) ;  4) .

1.3. КАМБІНАТОРЫКА I БІНОМ НЬЮТАНА

1º. Задачы, звязаныя з выбарам тых або іншых элементаў з некаторага мноства, называюцца камбінаторнымі. Пры развязанні такіх задач кіруюцца правілам множання: калі пэўны выбар А можна зрабіць n рознымі спосабамі, а для кожнага з гэтых спосабаў іншы выбар В можна ажыццявіць  спосабамі, то выбар А і В (з названым парадкам) можна зрабіць  спосабамі.

Кожнае k элементнае падмноства n– элементнага мноства называецца спалучэннем з n элементаў па k элементаў. Колькасць усіх спалучэнняў з n элементаў па k элементаў абазначаецца  і вылічаецца паводле формул

                    (1.10)

Кожнае ўпарадкаванае k элементнае падмноства n–элементнага мноства называецца размяшчэннем з n элементаў па k элементаў. Колькасць усіх размяшчэнняў з n элементаў па k элементаў абазначаецца  і вылічаецца паводле формул

Размяшчэнні з nэлементаў паn элементаў называюцца перастаўленнямі з n элементаў. Колькасць усіх перастаўленняу з n эле-ментаў абазначаецца  і вылічаецца паводле формулы  .

2º. Разгледзім некаторы дослед з n роўнамагчымымі зыходамі і падзею А, якая адбываецца, калі дослед заканчваецца пэўнымі k зыходамі, і не адбываецца ў тым выпадку, калі мае месца адзін з астатніх n– k зыходаў. Імавернасцю падзеі А, якая адпавядае доследу з  роўнамагчымымі зыходамі, называецца стасунак колькасці k зыходаў, спрыяльных падзеі А, да колькасці ўсіх зыходаў, што абазначаецца .

3º. Для рэчаісных лікаў а, b і кожнага  праўдзівая формула бінома Ньютана:  , дзе каэфіцыенты  называюцца біномнымі каэфіцыентамі і вылічаюцца паводле формулы (1.10), а = 1. Уласцівасць  дае магчымасць выпісаць біномныя каэфіцыенты  ў выглядзе табліцы, якую называюць трохвугольнікам Паскаля: