Жорданова нормальная форма матрицы. Характеристический многочлен жордановой клетки, страница 3

;

Нетрудно заметить, что эта система имеет решение только в том случае, когда . Это значит, только такие собственные векторы имеют присоединенные. Возьмем, например, , присоединенный к нему найдем, как решение системы

, например, , а вектор  Поэтому Собственный вектор  (частное решение однородной системы), первый присоединенный  (частное решение неоднородной системы с первым столбцом свободных членов), второй присоединенный  – опять же собственный, неколлинеарный , . Тогда

.◄

Пример 7. Найти жорданову нормальную форму матрицы  

.

►1. Составляем характеристический многочлен матрицы А:

.

Таким образом, А имеет единственное собственное значение , причем кратность его равна 4.

2. Находим собственные векторы:

–16

–6

.

Общее решение системы:

.                                     (15)

Число линейно независимых собственных векторов равно двум, значит, жорданова форма имеет две клетки.

3. Находим присоединенные векторы:

–6

–16

          .       (16)

Система (16) имеет решения при любых значениях  и , поэтому любой собственный вектор имеет присоединенный. Таким образом, обе клетки имеют второй порядок, и жорданова форма выглядит так:

                                        .                                                   (17)

4. Матрица Т, приводящая А к виду , – это матрица перехода от исходного базиса к базису, в котором матрица оператора совпадает с . Из (4.65) видно, что , т. е.  и  –  векторы собственные, а  и  – присоединенные к ним. Чтобы найти  и , записываем фундаментальную систему по решению (4.63): . Векторы  и  – частные решения системы (16) при соответствующих значениях  и , т. е.  – решение системы

, а  – системы

.

Например, . Таким образом,

.◄

Пример 8.

.

►Проведем вычисления по тому же плану, что и в первом примере.

1.             

.

Таким образом, .

2.

;

.                    

, следовательно, число линейно независимых собственных векторов равно двум, значит, матрице  имеет две клетки.

3.

                                     (18)

Система (18) имеет решение только в том случае, когда . Поэтому только один из собственных векторов имеет присоединенные. Значит, одна из клеток будет иметь первый порядок, а вторая – третий.

.

4.

;  .

Находим  и  – присоединенные векторы к :

,

;

.◄

Задачи

24. Для каждой из перечисленных матриц найти жорданову нормальную форму – матрицу  и невырожденную матрицу , приводящую заданную матрицу к жордановой нормальной форме.

1) ; 2) ;3) ;4) ;

5) ;    6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10); 11); 12) ;

13) ; 14) ;15) ; 16) ;

17) ;  18) ;  19) ;

20) ;       21) ;  22) .