Задача автоматического регулирования. Объект регулирования. Регулируемая величина. Уставка и регулятор. Система регулирования, страница 7

Система также находится на границе устойчивости, если годограф Михайлова начинается из начала координат.

Критерий Михайлова, основанный перемежаемости корней уравнений U(w)=0 и V(w)=0.

1)  w=0, U(0)=0, V(0)=0

2)  w=0, U(w)=k

Если при V’(0)>0 и U(0)>0 система будет устойчивая, корни перемежаются. 

Критерий Найквиста.

Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы по годографу или комплексному коэффициенту передачи разомкнутой системы.

вспомогательная функция

Критерий Найквиста для системы устойчивой в разомкнутом состоянии.

Для устойчивой системы в разомкнутом состоянии замкнутая система будет устойчивая, если изменение аргументов вспомогательной функции будет равна нулю.

Если система в разомкнутом состоянии была устойчивая, она будет устойчивая и в замкнутом состоянии, если годограф Wp(w) охватывает точку [-1; j0] при изменении 0<w< 

Пример.

Определение предельного коэффициента усиления, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

                    0                                 

Im(w1)=0

W(w1)=0A

Для нахождения Кпред необходимо приравнять мнимую часть Wp(jw)=0 и найти значение частоты w1 при котором происходит пересечение вещественной оси и найденное значение подставим в выражение модуля Wp(jw) и тем самым определим  0A.

Критерий Найквиста для системы нейтральной в разомкнутом состоянии.

Согласно критерию Найквиста система в замкнутом состоянии неустойчива, т.к. .

Но с другой стороны по критерию Гурвица система с характеристическим уравнением 2- го порядка устойчива всегда с любым значением k, т.е. получаем противоречие между этими критериями.

Это объясняется тем, что наличие нулевого корня не позволяет точно определить изменение аргумента вспомогательной функции f(w).

Если в разомкнутом состоянии система нейтральная, то в замкнутом она будет устойчивая.

Если годограф Wp(jw) и его дополнения в  не охватывают точку [-1; j0].

Дополнение: Если у нас нулевой корень кратности v, то его надо дополнять  частями окружности, бесконечно большого радиуса.

Пример 1.

Пример 2.

Критерий Найквиста для системы неустойчивой в разомкнутом состоянии.

Для того, чтобы система, не устойчивая в разомкнутом состоянии была устойчивой в замкнутом, необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента вспомогательной функции = m, где

m- число пр. корней характеристического уравнения, разомкнутой системы D(p)=0.

Для того, чтобы неустойчивая в разомкнутом состоянии система стала устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф Wp(jw) охватила бы точку [-1; j0] в положительном направлении в  раз.

Практический критерий Найквиста.

Если годограф пересекает (; -1) сверху вниз, то такой переход называется положительным.

Если годограф пересекает (; -1) снизу вверх, то такой переход называется отрицательным.

Если годограф не охватывает точку (-1; j0), то система в замкнутом состоянии будет устойчивая.

Система будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между количеством положительных и отрицательных переходов годографа Wp(jw) на участке (-j; -1) с дополнением в  при увеличении частоты от 0 до  равнялось бы  раз, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Критерий Найквиста, основанный на построении ЛФЧХ.

Условимся обозначать отрицательный переход ЛФЧХ прямых  сверху вниз.

Для того, чтобы система была устойчивая в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы разность между отрицательным и положительным переходами логарифмические характеристики при возрастании частоты от 0 до  было бы равно  раз.

Существуют запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

Определение запаса устойчивости по годографу разомкнутой системы.

1)

2)

- запас по фазе

 - запас по амплитуде