Структура кристаллов. Кристаллическая решетка. Индексы Миллера. Плотность упаковки. Координационное число, страница 4

2)  Рассмотрим верхнюю ветвь колебаний. x = -h, так как колебания легких и тяжелых частиц происходят в противофазе, при чем, центр масс не меняет своего положения. Качественно это можно представить следующим образом:

Одна ветвь для легких, а другая для тяжелых частиц.

Такие закономерности колебаний присуще колебаниям оптического диапазона. Поэтому верхняя ветвь называется оптической.

Таким образом, для цепочки атомов 2-х сортов мы получили закон дисперсии в виде 2-х ветвей (оптической и акустической). Частота оптических колебаний слабо зависят от квазиволнового числа к, а для акустической ветви эта зависимость более сильная. Естественно предположить, что с умножением модели, с точки зрения количества атомов и обобщение на 3-х мерный случай, спектр колебания также будет представлять набор ветвей колебаний (часть акустических, часть оптических). В частности будут существовать продольные и поперечные акустические и оптические ветви. То есть спектр колебания реальных материалов в принципе также может быть представлен в виде ветвей колебаний, что соответствует экспериментальным данным.

3  Теплоемкость материалов

3.1  Классический закон Дюлонга и Пти

Рассмотрим цепочку одинаковых атомов. Будем считать, что цепочка содержит N атомов. Воспользуемся классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы. (на 1 степень свободы приходится ). И учтя, что цепочка атомов обладает 2N степенями свободы, мы можем определить полную внутреннюю энергию цепочки одинаковых атомов: . Отсюда теплоемкость: .

Обобщив на 3-х мерный случай, получим:  – суть закона Дюлонга и Пти. Теплоемкость есть величина постоянная, не зависящая от температуры. Если рассмотреть реальные эксперименты, зависимость теплоемкости от температур, она не будет величиной постоянной: В области низких температур она стремится к 0, а в области высоких температур она стремится к постоянному значению.

Классический закон Дюлонга и Пти выполняется в области высоких температур. Для объяснения поведения теплоемкости в области низких температур, получим, что пользоваться классическими представлениями нельзя, так как они являются слишком грубыми. В связи с этим необходимо учесть квантово – механический характер поведения частиц в материалах.

3.2  Модель Эйнштейна для теплоемкости

По модели Эйнштейна частицы в узлах кристаллической решетки моделируются в виде гармоничных квантовых невзаимодействующих осцилляторов. Энергия каждого осциллятора является величиной квантовой, то есть можем представить , где w – круговая частота, n – целое число.

Найдем среднею энергию осциллятора. Для этого воспользуемся формулой Больцмана:

 – средняя энергия осциллятора.

Найдем полную внутреннюю энергию системы и проанализируем ее для разных интервалов температур: .

1)  T®¥ (для области высоких температур):

 – средняя энергия осциллятора в области высоких температур.

 – полная энергия осциллятора в области высоких температур.

.

2)  Проанализируем область низких температур:

T®0. , , . Поучим, что С_v уменьшается в области низких температур.

При чем уменьшается по экспоненциальному закону. А эксперимент дает T³. Модель Эйнштейна имеет определенные недостатки. Следует отметить, что дискретный характер колебаний частиц, когда C_v®0 в области низких температур, имеет место для тех значений теплоемкости, когда T=0. При некоторых температурах, называемых характеристическими температурами Эйнштейна, дискретность спектра колебаний перестает сказываться и можно пользоваться классическими представлениями (то есть з. Дюлонга и Пти). Эту характеристическую температуру Эйнштейна можно ввести следующим образом: . Тогда средняя энергия осциллятора с учетом температуры Эйнштейна: .