Цифровая обработка сигналов. Основные понятия и определения. Сигналы и их спектральное представление, страница 34

Рассмотрим теперь условия, накладываемые на ширину спектра входной последовательности на оси частот, при которой уменьшение частоты дискретизации не приведет к наложению спектров. Как видно из рисунка 10.6 и из (10.3) наложение спектров отсутствует, если спектр входного сигнала занимает не весь частотный диапазон , а лишь одну из его полос шириной

,                                 (10.4)

где , или часть этой полосы.

Условие (10.4) соответствует обобщенной теореме Котельникова, устанавливающей связь между шириной спектра и частотой дискретизации сигнала.

10.3 Система децимации с целочисленным коэффициентом

Простейшая система уменьшения частоты дискретизации в целое число раз имеет вид, показанный на рисунке 10.6.

Рассмотрим принцип работы схемы при M = 3. Предполагается, что спектр входного сигнала  занимает не всю полосу частот , а то-

лько ее часть  (рисунок 10.7,а). Задачей схемы является уменьшение частоты дискретизации в M раз с сохранением спектра, расположенного в части полосы  от 0 до .

Собственно операция уменьшения частоты дискретизации в M раз осуществляется с помощью КЧД, формирующего сигнал , путем взятия каждого М-отсчета из последовательности , т.е. ,  Для предотвращения явления наложения спектров операции, выполняемой КЧД, предшествует операция цифровой фильтрации децимируемого сигнала. Входной сигнал  обрабатывается фильтром, назначение которого состоит в подавлении частот составляющих

спектра входного сигнала в диапазонах , где , которые при последующем уменьшении частоты дискретизации попадут в частотный диапазон . Идеализированная АЧХ фильтра НЧ схемы должна увеличивать требованиям:

                     (10.5)

где ;  является граничной частотой полосы задерживания ФНЧ (рисунок 10.7,б). Если АЧХ фильтра удовлетворяет условию (10.5), то в полосе частот  спектр выходного сигнала равен спектру входного сигнала. В полосе частот  может отсутствовать положение спектров при , либо могут иметь место наложения спектров при .

Оба случая допустимы, поскольку от схемы требуется только сохранение спектра в полосе частот . Требования к АЧХ могут быть значительно ослаблены, если .

Рассмотрим теперь особенности использования ЦФ с КИХ и БИХ при децимации.

Передаточная функция  (как КИХ, так и БИХ-фильтра) и его частотная характеристика определяется “высокой” входной частотой дискретизации . Однако КИХ фильтр фактически работает на “низкой” выходной частоте, поскольку нет необходимости рассчитывать M – 1 отсчетов входной последовательности  фильтра, которые будут отброшены КЧД.

БИХ-фильтр в системах децимации работает на “высокой” частоте дискретизации, поскольку при вычислении любого отсчета последовательности  необходимо иметь значения всех предыдущих отсчетов, в том числе и тех, которые должны будут отброшены КЧД.

Однако БИХ-фильтры предпочтительнее, если следует минимизировать емкость оперативной памяти или объем оборудования.

Число операций умножения в единицу времени для КИХ фильтров , для БИХ фильтров , где  и  – количество коэффициентов в числителе и знаменателе передаточной функции БИХ фильтра;  – количество коэффициентов передаточной функции КИХ-фильтра,  – частота дискретизации.

Применения БИХ фильтров оказывается предпочтительнее по критерию минимума операций умножения в единицу времени при условии .

При требовании сохранения фазовых соотношений между составляющими спектра сигнала в полосе частот целесообразно использовать КИХ-фильтр с линейной ФЧХ.

10.4 Структура системы децимации с целочисленным М

Рассмотрим структурную схему системы децимации при использовании в схеме КИХ фильтра с передаточной функцией

.