Системы случайных величин. Понятие о предельных теоремах теории вероятностей, страница 2

−∞

Условные плотности вероятности нормированы на единицу:

                 ∞                                        ∞

            ∫ f_X (x y dx)  ⁼ ∫ f_Y (y x dy) = 1.

                −∞                                     −∞

С.в. Х и Y называются независимыми, если их условные законы распределения совпадают с безусловными, т.е. не зависят от условия.

Для системы дискретных с.в. независимость равносильна выполнению любого из равенств:

P Y( = y _jX = x_i ) = P Y( = y _j )                                              (7) P X( = x Y_i= y _j ) = P X( = x_i )                                               (8)

                               p_{i j} = P X x P Y y(                    = _i )⋅ ( =    _j )                                                       (9)

Для системы непрерывных с.в. независимость равносильна выполнению любого из равенств:

f_X (x y) = f_X (^x),              f_Y (y x) = f_Y (^y),        ^{f x y}( ^, ) = f_X (^x)⋅ f_Y (^y) .       (10)

В общем случае независимость с.в. равносильна выполнению равенства

                                 F x y( , ) = F_X (^x)⋅ F_Y (^y) .                                               (11)

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Математическое ожидание и дисперсию каждой из с.в., входящих в систему (X, Y), находят по формулам, аналогичным соответствующим формулам для одной с.в.:

	Дискретные с.в.	Непрерывные с.в.
МХ =	n     m ∑∑x pi ij i= =1 j 1	∞ ∞                     ∫ ∫ xf x y dxdy( , )                           ∫ ∫ yf x y dxdy( , )               ∫ ∫ (x − MX)2 ⋅ f x y dxdy( , ) −∞−∞
МY =	n     m ∑∑y pj ij i= =1 j 1
DX =	n     m ∑∑(xi − MX)2 ⋅pij i= =1 j 1
DY =	y j MY        pij i= =1 j 1	y MY      f x y dxdy −∞−∞

Для системы с.в. рассматривают ещё одну числовую характеристику − ковариацию (корреляционный момент). Ковариацией с.в. X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих с.в. от их математических ожиданий, ковариацию обозначают  ^cov(X Y^, ) или  K_XY

                               K_XY = cov(X Y M X MX Y MY, ) =                         [(         −          )⋅( − )].                            (12)

Ковариацию удобно вычислять по формуле

                                K_XY = M X Y MX MY( , )−                                ⋅           .                                                     (13)

                 n     m

                 ∑∑x y p_{i                 j                                   ij} − MX MY⋅          , для дискретных св. .,

 i= =1 j 1

K_XY = ^_{∞ ∞}                                                                                                                                                               (14)

      ^−∫ ∫∞−∞ xyf (x y dxdy, ) − MX MY⋅ , для непрерывных св. .

Свойства ковариации

1.  Ковариация симметрична, т.е. ^K_XY = ^K_YX .

2.  Дисперсия с.в. – это ковариация её с самой собой, т.е. DX = K_XX , DY = K_YY .

3.  Если случайные величины Х и Y независимы, то K_XY = 0 .

4.  ^{D X}(   ±^Y ) = DX + DY ± 2K_XY .

5.  Постоянный множитель  c = constможно выносить за знак ковариаций, т.е.

                KcX Y,  = KX cY,  = c K⋅ XY .

6.  Ковариация не изменится, если к одной из с.в. или обеим сразу прибавить постоянную, т.е. KX c Y+ , = KX Y, +c = KX c Y+ , +c = KXY .

7.  Ковариация двух с.в. не превосходит по абсолютной величине произведение их средних квадратических отклонений, т.е. K_XY ≤^{σ σ}_X ^⋅ _Y .

Для независимых с.в. ковариация равна нулю. Это необходимое, но недостаточное условие независимости с.в. Из того, что K_XY = 0 , не следует независимость  с.в. X и Y, в этом случае они называются некоррелированными.

Ковариация характеризует и степень зависимости случайных величин и их рассеяние вокруг точки (МХ, МY).