Системы случайных величин. Понятие о предельных теоремах теории вероятностей

Страницы работы

Содержание работы

Лекция 4. Системы случайных величин. Понятие о предельных теоремах  теории вероятностей. Математическая статистика и её основные задачи

При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело с несколькими случайными величинами. Совокупность с.в. Х и Y, рассматриваемых совместно, называется  системой двух случайных величин (или двумерной случайной величиной) и обозначается (Х, Y).  Например, точка попадания снаряда характеризуется системой (Х, Y) двух случайных величин – абсциссой Х и ординатой Y.

Функцией распределения F x y( , )системы (Х, Y) называют функцию, ставящую в соответствие каждой паре вещественных чисел (x y, ) вероятность совместного выполнения неравенств X < x, Y < y , т.е. 

                       F x y( , ) = P X( < x Y, < y)                                                  (1)

Геометрическифункция распределения имеет смысл вероятности попадания случайной точки (Х,Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (x y, ), лежащий левее и ниже её

При этом легко найти функции распределения каждой из с.в., входящих в систему (X,Y). Для св Х. . : FX (x) = P X( < x) = P X( < x Y, < ∞) = limy→∞ F x y( , ).

                          Для св. . Y : FY ( )y = P Y( < y) = P X( < ∞,Y < y) = limx→∞ F x y( , ).

Геометрическая интерпретация: F x y( , ), FX (x), FY (y) – это вероятности попадания случайной точки  в соответствующие заштрихованные области (см. рисунок).

                                                             y                                               y

y

Основные свойства функции распределения системы двух с.в. аналогичны свойствам функции распределения одной с.в.:

1.  0 ≤ F x y( , ) ≤ 1.

2.  F x y( , ) −неубывающая функция по каждому из аргументов т е,      . .          

                      при x2 > x1     F x( 2,y) ≥ F x( 1,y);   при y2 > yF x y( , 2) ≥ F x y( , 1).

3.  F x( ,− ∞) = F (−∞, y) = F (−∞ − ∞,          ) = 0.

4.  F x( ,∞ =)        FX ( )x , F (∞, y) = FY ( )y .  

5.  F (∞ ∞ =, ) 1.

Для системы непрерывных с. в. рассматривают плотность вероятности 

                  .                                                           (2)

Её свойства:

1.  f x y( , ) ≥ 0

                           ∞ ∞                                                

2.  ∫ ∫ f x y dxdy( , )         = 1.

−∞−∞

Функция распределения выражается через плотность вероятности по формуле: x y

                   F x y( , )= ∫ ∫ f s t dsdt( , )    .

−∞−∞

Система дискретных случайных величин (ДСВ) и её матрица распределения

Матрицей распределения системы ДСВ (X Y, ) называют таблицу, в которой перечислены все возможные значения xi с.в. X (i = 1,2,...,n), все возможные значения yj с.в.

Y ( j = 1,2,...,m) ,  а также вероятности pi j = P X(  = x Yi , = y j ).

Зная матрицу распределения, можно составить ряды распределения для X и Y.  Например, ряд распределения  с.в. X: 

xi

x1

x2

...

xn

pi

p1

p2

...

pn

                                                 m                             n    m

Здесь pi = P(ξ= xi ) = pi j ,             ∑∑pi j = 1.

                                                j=1                        i= =1 j 1

Условные законы распределения. Независимость с.в. 

Условным законом распределения с.в. Y, входящей в систему (X Y, ), называют закон её распределения, вычисленный при условии, что с.в. Х  приняла определённое фиксированное значение. 

Для системы дискретных с.в., заданной приведённой выше матрицей распределения,   pi j − вероятность совместного выполнения равенств (X = xi ) и (Y = y j ), т.о. pi j − это вероятность произведения событий A ={X = xi} и B ={Y = y j}:

pi j =P X x Y y( = i , = j ) =P AB( ) =P A P B A( ) ( ) =P B P AB( ) () .  Отсюда получаем   P AB( ) = P AB( ) ,  

P B( )

                                              () P X x Y y( = i , = j )        pi j      ,                          (3)

                         P X x Y y= i= j = = n P Y y( = j ) ∑pi j

i=1

 аналогично P BA( ) = P AB( ) , P A( )

                     P Y y X x( = j= i ) = P X x Y y( P X x=( i=,      i=) j ) pi jpi j .                              (4)  

= m

j=1  

Вероятности, найденные по формулам (3) или (4), образуют условные ряды распределения, при условии, что, соответственно, Y = y j или X = xi . Как и для любого ряда распределения сумма этих вероятностей равна единице:

nm

                              ∑P X( = x Yi = y j ) = P Y( = y j  X = xi) = 1.

                              i=1                                          j=1

Для системы непрерывных с.в. (X Y, ) вводится условная плотность вероятности. Обозначим

          fX (x y) = ff(Y x y( ),y ) = ff ((x y dxx y,, ))                                                      (5)

−∞

условную плотность вероятности Х при условии, что Y = y ; предполагается, что знаменатель отличен от нуля. Аналогично 

          fY ( y x) = ff(Xx y( ),x ) = ff ((x y dyx y,, )) .                                                  (6)

Похожие материалы

Информация о работе