Определение функции нескольких переменных. Предел функции 2-х переменных, страница 6

- непрерывны и .

Пусть f(x,y,z) – непрерывная функция определена для всех точек γ.

Задача о массе кривой с переменной плотностью: f(x,y,z)=ρ(x,y,z)>0 – линейная плотность кривой γ.

Если ρ=const=ρ₀, то M[γ]=ρ₀L, L – длина.

Пусть ρ(x,y,z) – переменная и является непрерывной функцией в R³.

Разделим γ на n частей, для M_i_-1 M_i_-1,M_i имеет длину ∆l_i. Точка . Считаем, что на дуге плотность ρ=f(); Тогда масса этой дуги ∆M_i=f(p_i)∆l_i. Тогда . Точность приближенных вычислений увеличивается при d(диаметр разбиения)=max l_i→0.

Определение: Суммы вида (1) называются криволинейными суммами 1-ого рода.

Определение: Число I называется пределом интегральных сумм (1) при d→0, если для "ε>0 $ δ(ε)>0 такая что для всех d<δ(ε)Þ(w_n-I)<ε

не зависимо от выбора точек и способа деления кривой на дуги.

Определение: Предел интегральных сумм (1) при d→0, если оп существует, называется криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по γ и обозначается .

Физический смысл: Если f(x,y,z)≥0 – линейная плотность дуги кривой.

- масса.

Теорема (о существовании): Если γ – гладкая, а f(x,y,z)–непрерывная в точках кривой, то существует .

Свойства:

1) - длина дуги.

2) Линейность: если f₁ и f₂ –интегрируемы на γ, а с₁ и с₂ –константы, то .

3) Аддитивность: если γ_AB= γ_ACÈ γ_CB и f(x,y,z) – интегрируема на γ_AB, то

4) Оценка интеграла: f(x,y,z)–непрерывная на γ и , , то , где L(γ).

5) Теорема о среднем: если f(x,y,z) – непрерывна в точках гладкой кривой γ, то существует точка M₀Îγ:.

Доказательство: Свойства 1-5 вытекают из определения криволинейного интеграла и доказываются как аналогичные свойства двойного интеграла.

57. Криволинейный интеграл 2-ого рода.

Пусть материальная точка движется вдоль кривой γÎR³, и на эту точку действует сила - векторное поле вдоль γ. А=? – работа силы. Если γ – прямая, а - постоянная, то . Для вычисления в предположении, что P, Q, R непрерывны на γ_AB считаем, что для " точки γ_i сила постоянная и , где М_i*Îγ. А перемещение вдоль γ_i заменим на перемещения по прямой (движении по ломанной, вписанной в кривую). Тогда работа на этом куске пути: и

; , если такой предел существует и не зависит от выбора точек {M_i}.

Определение: Пусть γ – гладкая кривая, рассматриваемая как геометрическое место точек с указанным порядком их следования от A к B, то γ_AB – ориентированная кривая.

Не обязательно, что t_A<t_B. γ_AB→ γ+, γ_BA→ γ-. Если γ – замкнутая кривая, без самопересечений (т. Аºт. В; t_A¹t_B), γ+ - обход против часовой стрелки. D – кольцо ¶D=γ₁Èγ₂; ¶D₊=.

Пусть γ_AB – ориентированная кривая, - векторное поле по γ. Составим интегральные суммы вида: , соответствующие разбиению кривой γ_AB= Èγ_i, γ_i – ориентированная согласно ориент. напр. γ.

Пусть d – диметр разбиения d→0.

Определение: Суммы вида (*) называются интегральными суммами 2-ого рода.

Определение: Если существует конечный предел при d→0 интегральных сумм (*), то он называется криволинейным интегралом 2-ого рода от вектора вдоль ориентированной кривой γ_AB и обозначается или , где .

Свойства: 1) Линейность 2) Аддитивность 3) - при изменении ориентации кривой интеграл меняет знак.

Физ. смысл: Работа векторного поля вдоль кривой γ_AB.

Теорема (о вычислении): Если P, Q, R – непрерывны вдоль гладкой кривой γ_AB: {x=x(t), y=y(t), z=z(t) , то

Связь: γ: {x=x(t), y=y(t), z=z(t) – гладкая кривая ((x_t’)²+(y_t’)²⁺(z_t’)²>0). Пусть t→t+∆t, ∆t>0, при ∆t→0 . Рассмотрим - вектор, направленный по касательной к кривой, направленной в сторону возрастания параметра t. При ∆t<0 вектор направлен противоположно , т. е. - направлен по касательной к кривой в сторону возрастания параметра t.