Математика \ Математика

Определение функции нескольких переменных. Предел функции 2-х переменных, страница 2

Пример: x=[0,1]

 (0,1) – внутренние точки

0,1 – граничные точки.

Теорема:

x0 – внутренняя точка X.

Если K0ℇ(x0) => f(x)>f(x0) =>( f(x)<f(x0)); и существует f’(x0), то f’(x0)=[0,0…0]

Доказательство:

Рассмотрим функцию f1(x1)=f(x1,x20…xn0)

Из условия теоремы  f1(x1)=f(x1,x20…xn0)> f(x10,x20…xn0)= f1(x10) =>

f1(x1)>f1(x10) K0ℇ(x0), т.к. 0<|x1-x10|< ℇ: и для f1(x1) выполняются все условия теоремы Ферма.

// Теорема Ферма:  x0 – предельная точка слева и справа, K0ℇ(x0): f(x)>f(x0), f’(x0)=0

=> =0

Аналогично все остальные производные:

т.е. f’(x0)=[0,0…0]

Следствие:

Если x0 – внутренняя точка (предельная точка) и является точкой максимума или минимума и  существует производная в этой точке, то она равна нулю – это необходимое условие экстремума.

Опр: x0€X – критическая точка, если: существует f’(x0), то f’(x0)=0, т.е. необходимые условия экстремума функции:

1) Она граничная и предельная.

2)Она внутренняя и f’(x0)=0.

3)Она внутренняя и не существует f’(x0).

По следствию из теоремы, функция может достигать экстремума или наибольшего/наименьшего значения только в критических точках.

x0 – внутренняя точка, f’(x0)=0 – стационарная точка.

19.Производная по направлению.Если в n-мерном пространстве задан единичный векторimage186.gif (1276 bytes) , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению:image188.gif (2018 bytes) . В частности, для функции трех переменных  image189.gif (1834 bytes),  image190.gif (1132 bytes)- направляющие косинусы вектора  image191.gif (859 bytes).

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора  image191.gif (859 bytes)и вектора с координатами  image192.gif (1381 bytes), который называется градиентом функции   image193.gif (1026 bytes)и обозначается  image194.gif (979 bytes). Поскольку  image195.gif (1371 bytes), где  image196.gif (874 bytes)- угол между  image197.gif (979 bytes)и  image191.gif (859 bytes), то векторimage197.gif (979 bytes) указывает направление скорейшего возрастания функции  image199.gif (1026 bytes), а его модуль равен производной по этому направлению.

23.Достаточное условие экстремума для функции двух переменных.

Теорема: Если , существуют в окрестности точки и  непрерывны в самой точке ,то обозначив , имеем

1)

2)

3) -экстремума нет

Доказательство:

, найдем с.ч. матрицы

,,

,.

1) ,A>0(C>0)

2) ,A<0(C<0)

3)

24.Неявные функции: теорема о существовании и дифференцируемости

Опр.  Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .

F(x,y,z)=0

x+y+z=ez - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.

x2+y2+z2=0 - не задает никакой функции.

Теорема: Если ф-я F(x,y,z) - непрерывна в т. р0(x0,y0,z0) и ее производная по z  Fz(x,y,z)¹0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:

z/x=-F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)

z/y=-F¢z (x,y,z)/F¢y(x,y,z)

Док-во: Найдем полный дифференциал функции

dF(x,y,z)=¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz

F(x0,y0,z0)=0èdF=0è

¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz=0

dz=-(¶F/¶x)/(¶F/¶z)*dx-(¶F/¶y)/(¶F/¶z)*dy  (*)

С другой стороны:

z=f(x,y), dz=¶z/¶x*dx+¶z/¶y*dy  (**)

Сравнивая (*) и(**) è

z/x=-F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)

я.н=-А¢я (чбнбя).А¢н(чбнбя)

20.Частные производные высшего порядка.

Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные.

¶z/¶x=f¢x(x,y)

¶z/¶y=f¢y(x,y)

В общем случае,  эти производные также являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными.

Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.

Две смешанные частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я равны.

2z/¶x¶y=¶2z/¶y¶x - в следствии этого, при обозначении смешанных частных производных последовательность диф-я не указывается.

nz/¶xn-2¶y2

28. Ур-ия с разделяющимися переменными.

-ур-ие I-ого порядка, которое может быть представлено в виде:

, где М и N – известные ф-ии от х и у наз-ся уравнением с разделяющимися переменными.

Решение этого уравнения заключается в разделении переменных. Разделим  ур-ие на , вынесем . Проинтегрируем обе части. .т.к. у – есть ф-я от x, то -общий интеграл данного уравнения. т.к. делим на =0, если , то x=a =>,  т.е.

Скачать файл