Случай 2 -- разложение в кольце 1<|z| <2 . Тогда дробь 1 / z-1 , в отличии от дроби 1/ z-2 , раскладывается по-другому:
-1/ z-1 =-1/z ⋅ 1/ [1-1/ z] =-1/ z – 1/ z^2 – 1/ z^3 -…
Складывая, получаем:
1/ (z-1)(z-2) =-1/2 -z / 2^2 - z^2/ 2^3 -… - 1/ z – 1/ z^2 - 1 / z^3 -…
Случай 3 -- разложение в кольце 2<|z| . Тогда и дробь 1/ z-2 раскладывается по другому:
1/ z-2 =-1/ z ⋅ 1/[ 1-2/ z] = 1/ z + 2/ z^2 + 2^2/ z^3 +…
Складывая, получаем:
1/ (z-1)(z-2) = 1/ z^2 + 2^2-1 / z^3 + 2^3-1/ z^4 +…
Заметим, что если дано разложение функции в сумму ряда Лорана в кольце r<|z-a| <R, то радиус сходимости правильной части больше или равен R, радиус сходимости главной части меньше или равен r и, умножая разложение функции f(z) на (z-a)^ -m , а затем почленно интегрируя при учете формул Ошибка! Источник ссылки не найден., получаем, что
c_m= 1/2πi ò_ c_ρ f(z)dz / (z-a)^ m+1
для любого целого m, и в качестве ρ можно взять любое число между r и R. Отсюда вытекает единственность ряда Лорана. В частности, в дальнейшем важную роль будет играть следующий коэффициент ряда Лорана:
c_ -1 =1/2πi ò_ c_ρ f(z) dz.
1. Особая точка функции комплексного переменного -- это точка, в которой отсутствует аналитичность. Особая точка функции f(z) называется изолированной , если в некоторой окрестности этой точки функция f(z) не имеет других особых точек. Пусть a -- особая точка, и R – расстояние от a до ближайшей особой точки. Разложим f(z) в ряд Лорана в кольце 0<|z-a| <R. Рассмотрим три случая.
2. Случай 1. В ряде Лорана главная часть отсутствует. Тогда, доопределяя функцию f(z) в точке a посредством равенства f(a)=c_0, получаем аналитическую в точке a функцию, которую также будем обозначать через f(z). Точка a в этом случае называется устранимой особой точкой .
Пример Точка 0 для функции sin z / z устранима и функция
f(z)= sin z / z , если z≠ 0; и равна 1, если z=0.
будет аналитическим продолжением функции sin z / z на всю комплексную плоскость.
Теорема. В устранимой особой точке функция имеет предел. Наоборот, если аналитическая функция в изолированной особой точке ограничена, то эта особенность устранима.
Доказательство. Первая часть предложения доказана выше. Пусть f(z) имеет изолированную особенность в точке a и f(z)=g(z)+h(z) -- разложение на главную и правильную части в этой точке. Тогда h(z) аналитична в точке a, а g(z) продолжается на всю область ℂ \{a} и ограничена на бесконечности. Если f(z) ограничена в точке a, то и g(z)=f(z)-h(z) также ограничена в точке a. Тогда функция g(1/ζ +a)=∑ _ n=1 ^ +∞ c_ -n ζ ^n аналитична на всей комплексной плоскости и ограничена. По теореме Лиувилля эта функция должна быть константой. Так как при ζ =0 эта функция обращается в ноль, то g≡ 0. Тем самым главная часть в разложении в ряд Лорана функции f(z) отсутствует, что и требовалось доказать.
3. Случай : главная часть ряда Лорана ненулевая и содержит конечное число слагаемых. Имеем:
f(z)=∑_ n=0 ^∞ c_n(z-a)^n + c_-1/z-a +c_-2/(z-a)^2 +c_-3/(z-a)^3 +...+c_-m/(z-a)^m , где c_ -m ≠ 0. В этом случае a называется полюсом порядка m . Если m=1, то a называется простым полюсом
Теорема. Точка a -- полюс порядка m тогда и только тогда, когда f(z)=𝜑 (z)/ (z-a)^m , где 𝜑 (z) аналитическая и не равная 0 в точке a функция.
Изолированная особая точка a функции f(z) является полюсом тогда и только тогда, когда то выполняется равенство lim_ z→ a f(z)=∞ .
Доказательство. Если lim_ z→a f(z)=∞, то lim_ z→a \frac 1/ f(z) =0. Кроме того, из равенства lim_ z→a f(z)=∞ следует, что f(z)≠ 0 в достаточно малой окрестности точки a и тем самым эта особенность изолирована для функции 1/ f(z) . Следовательно, a -- устранимая особенность для функции 1/ f(z) по теореме п.2 и 1/ f(z) =(z-a)^nψ (z) для некоторого n≥ 0 и аналитической функции ψ (z) такой, что ψ (a)≠ 0. Тогда f(z)=𝜑(z)/(z-a)^n для 𝜑(z)=1/ψ (z) -- аналитической функции в точке a. Остается применить предыдущую теорему.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.