Числовая последовательность. Основные понятия дисциплины

Страницы работы

5 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

12. Числовая последовательность

Начнем с установления понятия числовой последовательности. Представим себе натуральный ряд:1,2,3,…,n,…n’,…  (1)

В котором числа расположены в порядке возрастания, так что большее число n’ следует за меньшим nЕсли теперь заменить в ряде (1) по какому – нибудь закону каждое натуральное число n на вещественным числом xn, то получится числовая последовательность x1,x2,x3,…,xn,…,xn’  (2)

Будем называть члены последовательность их номерами.

Числовую последовательность будем отмечать точками на числовой оси.

Т.к. числовая последовательность есть функция числового аргумента, то для нее применимы все свойства и определения, которые свойственны для функции(ограниченность, монотонность, и т.д.)

Числовая последовательность называется строго возрастающей, если

Числовая последовательность называется строго убывающей, если

Введем такое понятие как понятие окрестности точки a, где

Пусть - произвольная;, тогда - окрестностью называется интервал ()

Действительное число а называется пределом числовой последовательности xn при (), если найдется такой номер , что для всякого выполняется неравенство , при этом пишут так:

Рассмотрим геометрический смысл данного определения

Если , есть радиус - окрестности точки a, при все члены последовательности начиная с некоторого номера  попадают в - окрестности точки a. Для любой окрестности точки a найдется такой номер, начиная с этого номера се члены последовательности попадут в эту - окрестность. Чем меньше , тем больше должно быть номер . . Все элементы без Х1 - - окрестность.

Пусть =1/4,  =

Пусть =1/16,  =

Начиная с 5-ого элемента (х5) все члены последовательности будут находиться в- окрестность радиусом 1/16.

Всякая числовая последовательность имеющая своим пределом число , назыв сходящейся

     - сходящаяся к «0»

Свойства:

1.  Теорема: Если последовательность  имеет предел и он равен а, и а>р, то  начиная с которого

 и а>р 

По условию а>póa-p>0 в качестве  возьмем число равное а-р и рассмотрим определение пределов

=а-р; ; => xn>p

Начиная с все номера больше р.

2.  Т: если   и а<q 

=q-a>0; ; xn<q

3.  Т: если последовательность имеет предел, то он единственный.

 - единств

Пусть существует еще один предел числовой последовательности

 и ,ab, a<b, a<r<b, r=(b-a)/2

1)  a<r  по 20                                          противоречие

2)  b>r  по 10                                        

4.  Т: Если числовая последовательность имеет предел, то она ограничена.

Рассмотрим произвольную - окрестность. Содержит все члены последовательности за исключением некоторого конечного их числа

Пусть ,

Т.к. множество значений числовой последовательности ограничено и сверху и снизу, то числовая последовательность является ограниченной. Обратное говоря неверно.

Теореме Вейштрасса: 1. Если возрастает или строго возрастает числовая последовательность ограниченная сверху, то она имеет конечный предел, в противном случае

2.  Если убывает или строго убывает числовая последовательность ограниченная снизу, то она имеет конечный предел, в противном случае

Докажем 1.: Пусть - возрастает; - огр сверху

Множество значений - ограничено

 ;

1)  - верхняя граница;

2)  - наименьшая верхняя граница;

Из этих 2-х условий следует, что если мы построили на  - окрестность, то на основании 2-ого будем иметь следующее, ,

Из того, что последовательность возрастающая =>

Т.о. ()ó

Допустим теперь, что таже последовательность - не огр сверху, - больше любого сколь угодно большого наперед указанного числа.

, т.к. последовательность возрастает поэтому, начиная с некоторого номера все члены последовательности будут иметь положительный знак.

Докажем 2.: Пусть - убывает; - огр снизу, поэтому

 =;Покажем, что

1) 

2) 

Рассмотрим произвольную - окрестность точки .

(;

(;

Допустим теперь, что таже последовательность - не огр снизу, - больше любого сколь угодно большого наперед указанного числа.

С числ.посл-ми уч/ся встр-ся в курсе 9 кл. опр ч.п. не дается. Числовая посл-сть может быть  задана формулой n-го члена, рекурентной форм-й. Рассм-ся 2 вида посл-й: арифм и геом-я прогр-и. После введ-я опр ариф пос-ти, затем жел-но методом  мат инд-и привести уч/ся к формуле n-го члена арифм прог-и. При реализации контроля при изучении числовой последовательности

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Математика
Тип:
Программы для учёбы
Размер файла:
291 Kb
Скачали:
0