Понятие системы связи, сети связи, страница 56

Как видно из таблицы, порождающий многочлен может представлять собой непрерывный многочлен или произведение непрерывных многочленов, как одинаковых, так и разных степеней.

Структура и степень g(X) полностью определяют свойства и корректирующую способность порождаемого или циклического кода


34. Порождающая матрица циклического кода

Знание порождающего многочлена позволяют легко построить порождающую матрицу Gц циклического кода. В качестве строк этой матрицы обычно берутся коэффициенты k многочленов g(X), Xg(X),…, Xk-1 g(X). Поскольку степени этих многочленов различны, то строки матрицы Gц линейно независимы. Матрица Gц  записывается так:

Складывая строки матрицы Gц  по две, по три и, наконец, все вместе получим все оставшиеся  2k – k – 1 ненулевые комбинации циклического кода.

Пример:

Построить порождающую матрицу циклического (7, 4) – кода с порождающим многочленом g(X) = X3 + X +1. Заметим, что

k = r + 1 = 4.

Многочлены строк:

При сравнении матрицы Gц  с матрицей G линейного кода видно, что они не совпадают. Однако используя элементарные операции над строками, матрицу Gц можно привести к матрице G. К элементарным операциям над строками матрицы относятся следующие 3:

  1. перемена местами любых 2-х строк матрицы;
  2. умножение любой строки матрицы на ненулевое число   (в нашем случае таким числом является 1, т.е. умножение любой строки на 1 не меняет ее);
  3. прибавление по модулю два любой строки, умноженной на ненулевое число, к любой другой строке.

В теории матриц доказано, что если одна матрица получается из другой в результате последовательного применения элементарных операций над строками, то пространство строк этих двух матриц совпадает. Следовательно, матрица G, полученная из матрицы Gц, порождает тот же циклический код, что и матрица Gц. Однако матрица G больше характеризует циклический код как линейный, т.к. зная расположение в ней коэффициентов Cji, сразу можно записать правило формирования проверочных символов, если циклический код рассматривать как линейный.