Корректирующая способность кода, верность передачи сообщений кодом, страница 8

 


Выясним сколько различных векторов ошибок порождают одну и ту же комбинацию синдрома. Для этого найдем комбинацию синдрома, порожденную вектором ошибок e, который можно рассматривать как сумму по модулю 2 одной из ненулевых последовательностей g = (g1…gn), не совпадающей ни с одной из комбинаций кода и с 1 из комбинаций линейного кода

Рассмотрим вектор ошибок, равный    .

Вектор ошибок е не является комбинацией линейного кода, т.к. сумма 2-х последовательностей длины n дает комбинацию линейного кода только тогда, когда обе последовательности принадлежат линейному коду, что противоречит выбору g.

Найдем синдром вектора ошибок e.

    (12)

т.е. синдром вектора ошибок e определяется только последовательностью g, не являющейся комбинацией кода.

Поскольку комбинаций линейного кода 2k, то может быть получено ровно 2k векторов е, дающих одну и ту же комбинацию синдрома, следовательно, ровно 2k векторов ошибок порождают одну  ту же комбинацию синдрома.

Очевидно, что число групп, каждая из которых состоит из 2k векторов ошибок столько, сколько комбинаций синдрома, т.е. 2r. Во все эти группы входят все вектора ошибок, т.к. в каждую группу входит 2k:

Одна из этих групп, вектора который совпадает с комбинациями кода дает нулевую комбинацию синдрома. Поэтому вектора ошибок этой группы не обнаруживаются линейным кодом. Поскольку вектора ошибок, входящие в группу, порождающую одну комбинацию синдрома, возникают в канале связи с разной частотой, то эта комбинация синдрома чаще будет порождаться теми векторами ошибок, которые имеют большую частоту появления в канале. Поэтому при получении ненулевой комбинации синдрома, необходимо считать (в целях получения максимальной верности передачи информации), что переданная комбинация была искажена таким вектором ошибок, который имеет максимальную вероятность появления в группе векторов ошибок, порождающих полученную комбинацию синдрома.