Корректирующая способность кода, верность передачи сообщений кодом, страница 6

Эта формула используется для подсчета вероятности ошибочной комбинации на выходе декодера, если код используется только для обнаружения ошибок.

Пусть теперь код с заданным d используется для исправления всех ошибок кратности  и менее.

Здесь  означают целую часть числа. d = 4 →

Здесь возможны 4 события при передаче комбинации по ДСК:

• комбинации на выход канала приходит без ошибок P_бо;
• комбинация на выход канала приходит с числом ошибок от 1 до ν_и , которые исправляются кодом. Вероятность этого события .
• в комбинации содержится  ошибочных символов и они исправляются кодом. Вероятность этого события: .
• комбинация на выход канала приходит с таким числом ошибок , которые не исправляются кодом. Вероятность этого события P_ош.

Эти 4 события образуют полную группу, то есть сумма этих вероятностей равна единице. Рассуждая так же как и при обнаружении ошибок, получим:

Для некоторых кодов исправление ошибок с кратностью  невозможно, следовательно, ≥ 0

Учитывая значение последней вероятности окончательно получим:

          (5)

Формула (5) используется для нахождения вероятности ложной комбинации на выходе декодера, если код используется для исправления ошибок.

Двоичный корректирующий код разрядности n с N комбинациями называется оптимальным для ДСК, если вероятность Р_ош неправильной комбинации на выходе декодера не превышает Р_ош для любого другого двоичного кода с той же разрядностью n и тем же числом комбинаций N.