Определение сигнала на выходе динамического звена САУ. Составление условия устойчивости одноконтурной системы, состоящей из трех апериодических звеньев, страница 3

⁴ - 7<у^:

⁵ - 6й>^} - 6й>) + (-4<ц⁴ - 4^^г + 4)

иад<у) = -После преобразования

Щ}<и) =

Вещественная часть частотной передаточной функции

-4<у* -4ш³ +4 Ц(<о)= --—_——-—         _       ——-.

Мнимая часть частотной передаточной функции

..,  ,      . 4<и' - 6о>³ -6й>

~ Зй)" т 4

Задавая различные значения частоты щ, определим координаты С/(й>)иК(й|)точек годографа Лучше начинать нахождение координат точек годографа с характерных точек, а именно: с точки при &>—>0, при а>—>ос, точек, в которых годограф пересекает оси координат, а затем найти координаты промежуточных точек годографа, при необходимости можно найти экстремумы годографа.

Определим координаты точек, которые являются местом пересечения

годографа с осью абсцисс. Для этих точек координата по оси ординат равна нулю (У((о)= 0). То есть годограф пересекает ось и(а>), если числитель У(\у) равен нулю, а именно:

Решая это уравнение, находим корни. Для решения используем только положительные значения, В нашем случае ш = 1.42.

Подставляя найденное значение со в выражение для и(ш), находим

Рис. 4,4. АФЧХ разомкнутой системы

координату искомой точки на оси абсцисс ^/(о)^₁₄₂ = -0.58.

Таким же образом определяются координаты точек пересечения   годографа с осью ординат. Полученные значения заносятся в таблицу.

Вывод: АФЧХ разомкнутой  системы (рис. 4.4) не охватывает точку с координатами (-1; у'О), поэтому замкнутая система устойчива.

 

АФЧХ разомкнутой системы можно было бы построить, рассчитав значения А(а)) и <р(а)). Для упрощения расчетов А(<а) и <р((а) пользуются следующими соотношениями:

Модуль дробно-рационального выражения ЧПФ равен отношению модуля числителя к модулю знаменателя.

Модуль произведения равен произведению модулей.

Аргумент дробно-рационального выражения ЧПФ равен разности аргументов числителя и знаменателя.

Аргумент произведения равен сумме аргументов

Для расчета модулей и аргументов используют выражения (4.1) и (4.2).

На рис. 4.4 показано построение одной точки АФЧХ для О| = 0,26 по значениям А(со) и <р(в)).

При анализе устойчивости пользуются также логарифмическими амплитудными (ЛАЧХ) и фазовыми (ЛФЧХ) частотными характеристиками.

Пример № 15. Получить выражение для построения годографа Найквиста, если известна передаточная функция разомкнутой САР.

0.25 + 8

0.025³+0.25^:+1.35-*-2 Решение Осуществим подстановку в выражении для ПФ Л¹ на }а).

Избавимся от у в знаменателе дробно-рациональной функции:

УУг   ,   .-^.-Ц

'

1Л + ./К ОЛ-./К)       v! + у,

Определяем значения для компонент полученного выражения:

(й>) = 2 - 0.2ог

У,(ш) = \ .Ъ}<а - 0.02у<и^э

V У, = (2-0.2йГ)0.2<у

=Ъ.2а (1.3 -0.02йГ) ₂ = 8<о(1.3-0.02вг)

_:^: + К," = 4- 10"<»^ь - О.Оббй)⁴ + 1 29а)- + 4

^: -0.004су⁴

{/(*)-

1б-1.34й?^г-0.004й?⁴

^;+4

10.8л>-0.2а?^э

4 -10⁴ о)" - 0.066л?⁴ +1.29лг + 4 0.2(_УЛ,)+ 8

0.02(У<»)^Э + 0.20'(У)^: + 1.ЗО'й?) + 2

В результате имеем искомое выражение для построения годографа Найк-виста

0.20со)+ 8

'ю)^э+0.20ш)²+1.3(./ю) + 2 16-1.34®² -0.004<о⁴ .                10.8со-0.2ш³

1-4

4-10-*-О.Оббсо

4-10'⁴со⁶-0.066со⁴ + 1.29ш²+4'

Пример № 16. Выяснить устойчивость по Найквисту системы, если передаточная функция её разомкнутого контура

где   * = 50; г = 0,05; 7; =0,1; Т₃ -0,02; Т, =0,25с. Решение