Алгоритм оптимального разворота ЛА на заданный угол крена, страница 4

2. Для реальных объектов управления, как правило, приходится учитывать ограничения на составляющие вектора управления или на переменные состояния. Таким образом, оптимальное управление ищется среди допустимых управлений, принадлежащих некоторой замкнутой области С в r-мерном пространстве управлений. Допустимым управлением является всякая кусочно-непрерывная функция  при .

3. При достаточном разнообразии критериев качества управления их принято задавать единым способом в форме функционала

, где виды Y и f₀ определяют конкретный критерий для рассматриваемой задачи.

В итоге основную задачу определения оптимального управления можно сформулировать следующим образом: пусть заданы уравнения объекта управления (18), начальное и конечное состояния объекта. Среди всех допустимых уравнений, для которых траектории системы (18) проходят через начальное и конечное состояние, выбрать такое, для которого .

Это задача синтеза оптимального управления.

Второй вариант постановки задачи оптимизации – задача синтеза оптимального регулятора. Её отличие состоит в том, что управление ищется не как функция времени U(t), а как функция вектора состояния системы U(X). Тем самым непосредственно определяется уравнение регулятора, обеспечивающего оптимальное качество системы, т.е. уравнение оптимального регулятора.

Выбором подынтегральной функции f₀ и функции Y минимизируемого функционала задаются конкретные критерии оптимальности управления. Здесь может быть достигнуто широкое разнообразие. Рассмотрим наиболее распространенные на практике критерии.

1. Критерий максимального быстродействия сводится к минимизации времени перехода объекта из состояния X⁰ в X¹, другими словами, времени переходного процесса:

.

2. Критерий минимального расхода топлива:

, где x_j(t)– составляющие вектора управления, b_j – весовые коэффициенты, выбором значений которых можно учесть расход горючего или другого рабочего тела на формирование сигналов управления по разным каналам.

3. Комбинированный критерий

позволяет учесть при соответствующем выборе весовых коэффициентов b₀ и b_j и время переходного процесса, и расход топлива.

4. Критерий минимума интеграла от квадрата ошибки системы:

   или .

Здесь ^Т - символ транспонирования вектора, P - матрица весовых коэффициентов размерностью . Если рассматривается стационарная система, тоt₁ в этом критерии чаще всего задаётся бесконечным, а x_i(t₁)=0, i=1,2,...n.

5. Тот же критерий для конечного интервала времени иногда вводится с учётом конечной ошибки системы:

 , где R- матрица размерностью ; момент t₁ задаётся фиксированным ; значения x_i(t₁) в условиях задачи не фиксируются.

6. Критерий минимума расхода энергии:

  или  , где Q- симметричная матрица размерностью .

7. Квадратичный критерий качества в наиболее общем виде:

 , где . Это комплексный критерий, обеспечивающий минимизацию интеграла от ошибки и расхода энергии. Если рассматривается , то последнее слагаемое отсутствует.

Оптимизация управления или структуры и параметров управляющего устройства в соответствии с таким критерием в литературе получила название «аналитическое конструирование оптимальных регуляторов» (АКОР).

8. В задачах оптимизации управления конечным состоянием системы используется критерий вида:

 .

Конечное состояние в условиях задачи, очевидно, не задаётся.

Например, для системы самонаведения ракеты в качестве критерия оптимальности может рассматриваться конечный промах (квадрат конечного промаха):

, то есть сумма квадратов разностей координат ракеты и цели в момент t₁ окончания процесса наведения.

Для задач синтеза оптимального управления при отсутствии ограничений на управление используют классические методы вариационного исчисления.

При наличии ограничений на управление наиболее удобен принцип максимума Л.С. Понтрягина. Для этих же задач применяется метод динамического программирования, разработанный Дж. Беллманом.

Эти методы позволяют получить аналитическое решение для наиболее простых задач или свести решение задачи к решению некоторой системы нелинейных алгебраических уравнений, которое может быть далее получено стандартным численным методом.