Синтез оптимального управления на основе вариационного исчисления

Страницы работы

7 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Лекция 24. Синтез оптимального управления на основе вариационного исчисления

Среди вариационных задач, как и среди любого другого вида задач поиска экстремума выделяются задачи на безусловный и условный экстремумы. Рассмотрим сначала основные виды задач на безусловный экстремум.

Простейшая задача вариационного исчисления имеет следующую постановку: требуется найти функцию x(t), определенную на интервале  при заданных значениях x(t0)=x0, x(t1)=x1, доставляющую экстремум функционалу вида:

.                                    (24.1)

Иногда говорят, что требуется найти кривую x(t), концы которой закреплены в точках x(t0)=x0  и x(t1)=x1 (рисунок 112).

Первое необходимое условие достижения экстремума в простейшей задаче принимает вид уравнения Эйлера:

.                                       (24.2)

Уравнение Эйлера сводится к дифференциальному уравнению второго порядка относительно x(t). Его решение называют экстремалью. Далее с учетом граничных условий x(t0)=x0, x(t1)=x1  находят допустимую экстремаль (одну или несколько).

Второе необходимое условие достижения экстремума принимает вид условия Лежандра:  для минимума или  для максимума вдоль всей допустимой экстремали. Условия Лежандра в форме строгих неравенств называются усиленными. Усиленное условие Лежандра вместе с (24.2) образует достаточное условие минимума или максимума функционала (24.1).

Подпись:  Пример 1. Требуется обеспечить экстремум функционала  при граничных условиях x(0)=0, x(1)=1 (рисунок 113).

Найдем частные производные и составим уравнение Эйлера:

, ;

, , .

Уравнение экстремали получаем двойным интегрированием: , x=c1t+c2.

С учетом граничных условий находим допустимую экстремаль: x(0)=c2=0, x(1)=c1=1, .

Проверим выполнение условия Лежандра: .

Таким образом, на кривой  (кривая bна рисунке 113) обеспечивается минимум величиной .

В векторном варианте простейшей задачи при X=(x1,x2,…,xn) и функционале вида

.                                    (24.3)

задаются граничные условия xi(t0)=xi0, xi(t1)=xi1, i=1,2,...,n.

Первое необходимое условие достижения экстремума здесь принимает вид системы уравнений Эйлера-Лагранжа:

i=1,2,....,n.                              (24.4)

Второе условие (условие Лежандра) предусматривает анализ матрицы вторых частных производных

.

Условие Лежандра (необходимое условие): вдоль всей допустимой экстремали матрица  должна быть положительно полуопределенной для минимума функционала и отрицательно полуопределенной для максимума.

Усиленное условие Лежандра (достаточное условие): вдоль всей допустимой экстремали матрица  должна быть положительно определенной для минимума функционала и отрицательно определенной для максимума.

В общем случае граничные условия могут быть заданы не полностью. В этом случае первое необходимое условие достижения экстремума (24.2) или (24.4) дополняется условиями трансверсальности. Рассмотрим возможные варианты.

Подпись:  1. Задача с подвижными концами: значения всех или некоторых составляющих векторной функции X при t=t0 или t=t1 не заданы (концы частично не закреплены). Пример для одномерного случая, когда левый конец закреплен, правый подвижен, представлен на рисунке 114. В таких задачах первое необходимое условие достижения экстремума вместо каждого недостающего граничного условия дополняется условием трансверсальности вида:

  или  . (24.5)

Подпись:  2. Задача со свободными концами: не задана также граница временного интервала t0 или t1 (рисунок 115 – для одномерного случая правый конец свободен). Вместо неопределенной границы первое необходимое условие достижения экстремума дополняется условием трансверсальности соответственно:

или .  (24.6)

Подпись:  3. Задача со скользящими концами: вместо значений t0 и x0i заданы уравнения xi(t0)=ji(t0), i=1,2,…,n и аналогично для правого конца (пример для одномерного случая на рисунке 116). Вместо условий (24.5), (24.6) вводится условие трансверсальности:

или

. (24.7)

Условия трансверсальности используются вместо недостающих граничных условий для нахождения допустимых экстремалей. Отметим еще раз, что количество условий трансверсальности всегда точно совпадает с количеством недостающих в задаче граничных условий. При этом в рассмотренном выше случае 3 уравнения xi(t0)=ji(t0) также рассматриваются как граничные условия и используются для нахождения коэффициентов экстремали вместе с прочими граничными условиями и условиями вида (24.7).

Похожие материалы

Информация о работе