Информатика и выч. техника \ Информационные системы в экономике

Построение модели статики детерминированного многомерного линейного объекта. Синтез линейной САУ, страница 4

Пусть проведено L опытов при различных уровнях входных воздействий Xj = (X1j, X2j,... Xnj) из области Dx их допустимых значений получены реализации выходов объекта Yj = (Y1j, Y2j,...Ymj) и выходы модели Yj = (Y1j, Y2j,...Ymj) (j = 1, L).

Ошибки модели Dy = (Dy1, Dy2,... Dym), dy = (dy1, dy2,... dym) и

sy = (sy1, sy2,... sym) для оценки ее адекватности вычисляются по формулам:

(i = 1, m) (23)

(i = 1, m) (24)

(i = 1, m) (25)

где Dyi, dyi , syi - абсолютная, приведенная и средне-квадратическая ошибки модели по i -му выходу (i = 1, m) ; Yij , Yij - значение i - го выхода объекта и модели в j -ом опыте (i = 1, m; j = 1,L); Yi - номинальное значение i-го выхода объекта (i = 1, m) при номинальных значениях входов Xk (k = 1, n).

Если величины этих ошибок меньше некоторого заданного положительного числа, то модель адекватна объекту и может быть использована для решения задач моделирования, оптимизации и управления . В противном случае модель необходимо усовершенствовать путем изменения структуры и введения в нее неучтенных ранее факторов.

2.5. Численные методы исследования линейных объектов

Идентификация линейных объектов приводит к решению систем линейных уравнений. С этой задачей исследователь часто сталкивается в практике. Это обусловлено, по крайней мере, двумя причинами.

Во-первых, многие задачи линейной оптимизации, идентификации линейных и нелинейных моделей статики, идентификации линейных моделей динамики (дифференциальные уравнений) объекта сводиться к решению систем линейных уравнений.

Во-вторых, большинство нелинейных задач ‘в малом’ линейны, т.е. нелинейные модели в малой окрестности некоторого решения могут быть описаны линейными. Следовательно, первым шагом решения нелинейных задач является исследование линеаризованных моделей, что также связано с решением систем линейных уравнений.

Таким образом, численные методы решения систем линейных уравнений оказываются важным инструментом решения обширного круга научно-технических задач на ЭВМ.

В общем случае система линейных уравнений имеет вид

..................................... (26)

или в компактном виде

(i = 1, n) (27)

Система (26) в матричной форме записывается следующим образом:

Сz = C (28)

где C = (Cij) - матрица вещественных коэффициентов (1<=i, j<=n), det L¹0.

- вектор свободных членов; Z = (Z1,...,Zn) - вектор неизвестных.

Численные методы решения системы (28) и их программная реализация подробно изучены студентами в курсе ‘Программирование и вычислительные методы’.

Приведем только некоторые практические рекомендации по применению алгоритма численного решения системы (28) методом Гаусса-Жордана.

Этот метод является разновидностью метода Гауса. Как известно, в методе Гаусса преобразования затрагивают только управления, стоящие ниже ведущего ряда. В результате исходная система уравнений приводится к треугольному виду. В методе же Гаусса-Жордана преобразуются уравнения, стоящие и под ведущим рядом, и над ним. Таким образом, этот метод дает алгоритм приведения системы линейных уравнений к диагональному виду. Он имеет простую реализацию (рис. 2.2), что не требует особых затрат времени для ввода в ЭВМ в случае отсутствия готовой программы в библиотеке.

Применение метода Гаусса-Жордана (так же как и метода Гаусса) усложняется, если какой-либо из коэффициентов ведущего ряда равен нулю. В этом случае ведущий ряд невозможно нормировать. Кроме того, известно, что наибольшая точность достигается тогда когда ведущий элемент имеет наибольшее значение по модулю. Поэтому эти методы исключения применяют в сочетании с какой-нибудь схемой выбора ведущего элемента (модифицированный метод Гаусса). Однако эту трудность можно обойти изменив порядок, в котором расположены уравнения системы. Для этого строку с нулевым или малым по модулю коэффициентом ведущего ряда надо заменить на ту из стоящих под ней строк, в которой в том же столбце стоит коэффициент, имеющий наибольшее значение по модулю.

2.6 Объект исследования

Объектом исследования для изучения методов идентификации линейной модели является электрическая цепь. В качестве примера рассмотрим электрическую схему объекта, представленную на рис. 2.3.

Структурную схему идентификации представим в виде ‘ черного ящика ‘ изображенного на рисунке 2.4, где е1, е2 = наблюдаемые входы объекта, U1, U2 - наблюдаемые выходы объекта.

Модель статики линейного детерминированного объекта с n = 2 входами е1, е2 и m = 2 выходами U1, U2 представляется системой из двух линейных алгебраических уравнений: