Исследование переходных процессов и качества регулирования САУ. Исследование устойчивости САУ, страница 2

Выбирая момент , получаем . Многомерная динамическая система, имеющая несколько входов и выходов, характеризуется матрицей весовых функций:

                                            .                                                                 (1.19)

Весовой функцией , соответствующей -му выходу и -му входу, называется реакция системы в момент  на -м выходе при действии в момент  импульсного возмущения на -м входе. Весовые функции являются важными характеристиками динамических систем и позволяют определить реакцию системы на произвольные воздействия:

                                         ,                                (1.20)                                                                                            

где фазовые координаты; начальные условия; входные воздействия.

Другими исчерпывающими характеристиками стационарной линейной системы являются  ч а с т о т н ы е, которые определяют в установившемся режиме реакцию системы на гармоническое воздействие.

Если известна передаточная функция системы , то частотная характеристика  может быть найдена аналитически и представляет собой передаточную функцию при  чисто мнимых значениях аргумента :

                                        .                                                            (1.21)

Частотная характеристика может быть найдена методами моделирования. Для этого на вход системы подаётся гармоническое воздействие частоты :

                                               .                                                                  (1.22)

Реакция система после окончания переходного процесса представляет собой также периодическую функцию

,                                              (1.23)

 отличающуюся от входной функции по амплитуде и фазе, но имеющую ту же частоту:

,                                                        (1.24)

.

Таким способом определяются  частотные характеристики реальных динамических систем, например, динамического стенда, полунатурных моделей, включающих в замкнутый контур элементы систем управления. Амплитуда входного воздействия должна выбираться так, чтобы динамика системы достаточно хорошо соответствовала линейной модели. При изменении амплитуды можно исследовать влияние нелинейностей на процессы в системе управления. Частотная амплитудно-фазовая характеристика системы или комплексный коэффициент усиления системы мы определяем выражением

.

Здесь  и  − амплитуды выходной реакции системы и входного воздействия;  − разность фаз выходной реакции и входного воздействия. При моделировании частота  изменяется дискретно от 0 до достаточно большого значения , которое определяется из физических соображений.

Выражение для  может быть представлено в виде

                                                       (1.25)

или в виде

.                                                (1.26)

Здесь  − амплитудная частотная характеристика, равная отношению амплитуд выходного и входного гармонических сигналов:

,                                                               (1.27)

 − фазовая частотная характеристика;  − вещественная частотная характеристика;  − мнимая частотная характеристика.

Для получения частотных характеристик экспериментальным путем для каждого значения частоты определяют амплитуду гармонического воздействия, амплитуду выходной величины, а также фазовый сдвиг между обоими колебаниями. Частотные характеристики могут быть получены как для замкнутых систем, так и для разомкнутых, а также для отдельных звеньев системы.

Метод частотных характеристик является удобным аппаратом для исследования устойчивости и качества регулирования. Частотная характеристика  и весовая функция связаны интегральными соотношениями (преобразование Фурье):

                            ;                                 (1.28)

                             .                                                    (1.29)

 Определение весовых функций системы стабилизации угла тангажа.

Рассмотрим систему стабилизации углового движения ЛА относительно ц.м. в продольной плоскости. В качестве программного движения принимается полет ЛА на заданной высоте с постоянной скоростью. Принимается, что динамика системы стабилизации описывается линейными дифференциальными уравнениями в отклонениях

относительно программного движения:

                                                 1) ;

                                                  2);                                            (1.30)

                                                  3) ;

                                                  4)  ,

где  − угол атаки,  − угол тангажа,  − угловая скорость тангажа,  − угол отклонения руля высоты,  − известные динамические коэффициенты, ,  − передаточные числа. Причем

,

,

, ,

,

где  − тяга ЛА,  − масса ЛА,  − момент инерции ЛА, , , ,  − аэродинамические коэффициенты,  − массовая плотность воздуха,  − характерная площадь,  − характерная длина. В системе уравнений индекс   отклонений от программных значений опущен. Уравнения 1) − 3) описывают динамику ЛА, уравнение 4) − уравнение системы управления. При этом рулевая машинка считается безынерционной.

Для получения передаточной функции (1.31)  необходимо применить преобразование Лапласа к системе (1.30) и решить полученную систему алгебраических уравнений.

Передаточная функция ЛА, характеризующая передачу воздействия от входа  до выхода , имеет вид

                                            ,                                       (1.31)

где   − коэффициент усиления ЛА;

        − постоянная времени ЛА;

        − коэффициент демпфирования;

         − постоянная времени форсирующего звена (скоростная постоянная времени). Можно записать:

        ,

,

,

.

Из последних формул следует, что коэффициент усиления ЛА  увеличивается с ростом скорости  и уменьшается с ростом коэффициента статической устойчивости . Величина коэффициента демпфирования  почти не зависит от скорости , но убывает с ростом высоты . Таким образом собственное демпфирование ЛА, особенно при подъеме на высоту, может оказаться недостаточным для получения переходного процесса с заданным затуханием. Требуемое значение  управляемого ЛА достигается выбором параметров системы угловой стабилизации. Для баллистических ракет . Для ЗУР  меняется в пределах [0,35 – в начале полета до 0,08 – в конце полета]. Скоростная постоянная времени  уменьшается с увеличением скорости  и резко увеличивается с ростом высоты . При увеличении  ЛА становится более инерционным по отношению к стремлению внешних сил изменить направление его движения. Собственная частота ЛА  увеличивается с ростом скорости , а с ростом высоты уменьшается . Для маловысотных ЛА , для большевысотных ЛА .