Элементы теории погрешностей. Матрицы. Точные и итерационные методы решения систем линейных уравнений. Нахождение собственных векторов и собственных чисел матриц, страница 3

где - собственные числа матрицы D.

Норма (2.5.6) называется --Евклидова норма

Две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны между собой вследствии выполнения цепочки неравенств

. (2.5.6)

2.6 Подобие матриц.

Две матрицы, соответствующие одному и тому же преобразованию в различных базисах, называются подобными.

Пусть y = A ∙ x и η = B ∙ ξ, тогда матрица A реализует линейное преобразование в некотором базисе и матрица B линейное реализует преобразование в другом базисе.

Если существует S – матрица перехода от первого базиса ко второму, то x = S ∙ ξ y = S ∙ η или y = S ∙ η = A ∙ S ∙ ξ = S ∙ η или S ∙ A ∙ S ∙ ξ = η или B = S^-1 ∙ A ∙ S.

Итак, матрицы подобны, если существует ∙такая матрица S, что

det S ≠ 0 и B = S^-1 ∙ A ∙ S (2.6.1)

Свойства:

а) det B = det A;

б) B и A имеют одинаковые характеристические полиномы и следовательно одинаковые собственные числа (включая их кратность).

2.7 Матрицы специальных видов.

Матрица Q называется ортогональной, если

Q^Т ∙ Q = Е или Q^Т = Q^-1 (2.7.1)

Свойства:

а) в случае квадратных матриц Qортогональна тогда и только тогда, когда сумма квадратов элементов каждой ее строки равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов любых различных строк равна 0 (аналогично для столбцов).

б) det Q = ± 1.

Доказательство: Q ∙ Q^-1 = E , следовательно det Q ∙ det Q^Т = (det Q)² = 1 а значит det Q = ± 1.

Ортогональные матрицы задают переход от одного ортонормированного базиса в пространстве к другому ортонормированному базису. Причем это линейное преобразование сохраняет скалярный квадрат вектора (аφ; аφ) = (а; а).

Матрица называется идемпотентной (матрицей идемпотентного преобразования), если

Р² = Р. (2.7.2)

Матрица называется инволютной, если

I² = E. (2.7.3)

3. ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методы решения алгебраических задач подразделяют на точные, итерационные и вероятностные с малым, средним и большим числом неизвестных соответственно.

Приведенные в этом разделе методы относятся к классу точных (т.е. в предположении отсутствия округлений они дают точное решение задачи после конечного числа арифметических и логических операций).

3.1 Метод Крамера

Система линейных уравнений в матричном виде А ∙ Х = В. Решение ищется по формулам Крамера

= i=1…n(3.1.1)

где получается из матрицы А заменой в ней столбца с номером i на вектор-столбец В.

Метод применим только для систем, у которых det A=Δ ≠ 0 и имеет единственное решение.

3.2 Матричный метод

Преобразуем систему линейных уравнений в матричном виде

(3.2.1)

где находится по формулам (2.3.2).

Метод применим только для систем, у которых det A=Δ ≠ 0 и имеет единственное решение.

3.3 Метод Гаусса

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим порядок действий.

Прямой ход метода Гаусса:

а) Если а₁₁ ≠ 0, то первую строку делим на а₁₁, если а₁₁=0 меняем строки местами.

б) от остальных строк отнимаем . Получаем новую матрицу, у которой

и =0 (3.3.1)

и т.д. до получения треугольной матрицы.

Обратный ход метода Гаусса

в) ; (3.3.2)

и т.д. поднимаемся по рекуррентным формулам, получаем х_n_-₁, … , x₁.

3.4 Метод главных элементов

Метод главных элементов позволяет избежать влияния вычислительной погрешности. Метод состоит в следующем. В расширенной матрице системы выберем ненулевой, не принадлежащий В элемент а_ik, как правило наибольший по модулю.

а_ik – называется главным элементом, строку с номером i – главной строкой.

Главную строку делим на а_ik, а затем от всех остальных строк отнимаем главную строку, умноженную на . Таким образом, получаем рекуррентное соотношение:

(3.4.1)

и матрицу , получаемую вычеркиванием из исходной матрицы i- той строки и k- того столбца. Так повторяем п раз. Метод главных элементов применяем всегда, когда det A ≠ 0.

Метод Гаусса является частным случаем метода главных элементов.

3.5 Схема Халецкого

Матрицу системы А представляют в виде произведения двух треугольных матриц А = В ∙ С

и (3.5.1)

где элементы матриц В и С рассчитывают по формулам:

(3.5.2)

3.6 Решение линейных уравнений в среде "MathCad".

Линейные уравнения могут быть решены:

а) в матричном виде (размерность системы не выше 10×10);

б) при помощи функции LSOLVE (A,∙b) (категория функций "Решение"), аргументами которой являются А – матрица системы и b – столбец свободных членов;

в) при помощи функции rref (A) (категория функций "Вектор и Матрица"), где А – расширенная матрица системы (с действительными коэффициентами). Функция сводит матрицу системы к единичному виду, и в последнем столбце получаем ответ. Также при помощи этой функции можно исследовать систему на совместность.

4 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вообще-то говоря, для любой системы с невырожденной матрицей, существуют итерационные методы решения. Если метод итераций сходится, то он дает следующие преимущества перед методами, изложенными выше:

а) если итерации сходятся достаточно быстро, т.е. если для решения системы необходимо менее п итераций, то получаем выигрыш во времени так как при решении системы методом итераций необходимо произвести » п² действий, а для метода Гаусса » п³;

б) погрешности округления в методе итераций оказываются значительно меньшими, чем в методе Гаусса. Тем более, что метод итераций является "само исправляющимся" методом, т.е. любая допущенная в вычислениях ошибка не влияет на конечный результат, т.к. ошибочное приближение можно рассматривать, как новый начальный вектор;

в) особенно выгоден метод при решении систем, у которых значительное число переменных равно нулю;

г) процесс итерации состоит в выполнении однообразных операций.

4.1 Метод простой итерации (метод Якоби).

Исходную систему уравнений всегда можно преобразовать к виду: