Элементы теории погрешностей. Матрицы. Точные и итерационные методы решения систем линейных уравнений. Нахождение собственных векторов и собственных чисел матриц, страница 2

причем: А ∙ 1 = 1 А = А; А ∙ 0 = 0; α ∙(β ∙ А) = β ∙(α ∙ А);

(α + β) ∙ А = αА + βА; α ∙ (А ± В) = αА ± αВ.

в) Умножение на матрицу (на скалярную матрицу) возможно в том случае, когда число элементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце матрицы В. (или число столбцов А равно числу строк В).

А ∙ В = С, где с_ij= a_i₁ ∙ b₁_j + a_i₂ ∙ b₂_j + … + a_in ∙ b_n_j., (2.1.3)

где размерность матрицы-результата - А_m_x_n ∙ B_n_x_k = C_m_x_k.

Матрица вида D = d ∙ E = называется скалярной матрицей. Очевидно, что A ∙ D = A ∙ α ∙ E = α ∙A ∙ E= α ∙ A.

Умножение матриц в большинстве случаев не обладает перестановочным свойством. А ∙ В ≠ В ∙ А.

Если такое возможно (А ∙ В = В ∙ А), то А и В называются перестановочными. Например, нулевая матрица О, единичная Е и скалярная матрица перестановочны относительно любой матрицы.

Свойства умножения:

1) (А ∙ В) ∙ С = А ∙ (В ∙ С);

2) α ∙ (А ∙ В) = (α ∙ А) ∙ В = А ∙(α ∙ В);

3) (А ± В) ∙ С = А ∙С ± В ∙С; (2.1.4)

4) С ∙ (А ± В) = С ∙А ± С ∙В;

5) det (A ∙ B) = det A ∙ det B.

Пример №1 Как должен выглядеть столбец матрицы В, чтобы в результате умножения А_m_x_n ∙ B_n_x₁ = C_m_x₁.получить:

а) первый столбец матрицы А ? .

б) сумму третьего и четвёртого элемента каждой строки?

Ответ: а) б) .

Пример №2 Пусть B₁_x_m ∙ А_m_x_n = C₁_x_n . На что надо умножать А, чтобы получить последнюю строку матрицы А?

Ответ: .

В среде "MathCad" часть матрицы можно выделить при помощи функции Submatrix (A; k; m; l; n). У этой функции первый аргумент – название матрицы, вторй и третий – начальная и конечная строка, четвёртый и пятый – границы выделяемой части матрицы по столбцам.

г) Возведение в степень.

= А ∙ А ∙ … ∙ А – к раз. (2.1.5)

д) Транспонирование матриц.

Транспонированная матрица А^Т – это матрица, у которой строки заменены столбцами соответствующего номера из исходной матрицы. Операция транспонирования верна не только для квадратных матриц.

А = , А^Т = , , В^Т = .

Свойства:

1) (А^Т)^Т = А;

2) (А + В)^Т = А^Т + В^Т; (2.1.6)

3) (А ∙ В)^Т = В^Т ∙ А^Т;

4) det A^Т = det A, если А – квадратная.

Если А^Т = А, то А - называется симметрической.

2.2 Вычисление определителя матрицы.

Определителем квадратной матрицы называется число равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение n элементов матрицы, стоящих в разных строках и разных столбцах, взятое со знаком "+", если перестановка индексов элементов четная и "-", если нечетная. Если det A =0, то матрица называется особенной.

Правила практического вычисления определителей (для размерности 4´4 и выше):

а) разложение по строке с номером k

det A = j=1…n (2.2.1)

б) разложение по столбцу с номером k.

det A = i=1…n (2.2.2)

в) при помощи элементарных преобразований, приводящих его к треугольному виду.

Допустим а₁₁ ≠ 0. Тогда все элементы первого столбца (строки) делим на а₁₁:

где .

Этот же прием применяется к . Последовательно получим . Если на некотором шаге первый элемент окажется равен нулю, необходимо поменять местами строки.

Например:

2.3 Нахождение обратной матрицы.

Теорема: Любая неособенная матрица имеет обратную.

Свойства:

1) .

2) (А ∙ В)^-1 = В^-1 ∙ А^-1 (2.3.1)

3) (А^-1)^Т = (А^Т)^-1

Доказательство:

1) Так как А^-1 ∙ А = Е то det A^-1 ∙ det A = det E или .

2) Умножим левую часть на произведение А ∙ В. Получим:

А ∙ В ∙(В^-1 ∙ А^-1) = А ∙ Е ∙ А^-1= Е, т.е. А ∙ В – есть обратная матрица к В^-1 ∙ А^-1 или (А ∙ В)^-1 = В^-1 ∙ А^-1.

3) (А^-1 ∙ А)^Т = А^Т ∙ (А^-1)^Т, т.е. (А^Т)^-1 = (А^-1)^Т.

Правила практического вычисления обратной матрицы.

1) При помощи алгебраических дополнений

. (2.3.2)

где - алгебраические дополнения к элементам матрицы А.

2) При помощи метода Гаусса.

Составляется матрица: М = ( | ) и элементарными преобразованиями матрица М приводится к специальному ступенчатому виду, тогда получаем ( | ). Эту операцию можно произвести при помощи функции rref (M).

2.4 Собственные числа матрицы и соответствующие им собственные векторы.

Пусть А_n_x_n матрица с действительными элементами, тогда матрица (А – λ ∙ Е)_n_x_n называется характеристической матрицей для матрицы А, а det(А – λ ∙ Е) – есть характеристический многочлен ( n – ой степени от λ ), а его корни λ_і – собственными числами матрицы А.

Каждому собственному числу соответствует собственный вектор матрицы А:

Теорема. (Тождество Гамильтона-Келли). Всякая квадратная матрица А является корнем своего характеристического полинома.

det(А – λ ∙ Е)=0 (2.4.1)

В среде «MathСad» заданы следующие встроенные функции:

еigenvals (M) - возвращает вектор, элементами которого являются собственные числа матрицы М.

еigenvecs (M) – возвращает матрицу, состоящую из нормализованных собственных векторов матрицы М, соответствующих собственным числам матрицы М. Причём в n-ном столбце матрицы возвращается собственный вектор, соответствующий n-ному собственному числу, возвращаемому функциейeigenvals.

eigenvec (M,z) – возвращает нормализованный собственный вектор матрицы М, соответствующий собственному числу zматрицы М. Собственное число zможет быть комплексным.

2.5 Норма матрицы.

Норма матрицы обозначается. Это действительное число, удовлетворяющее условиям: