Составление системы уравнений для нахождения значений функции напряжений во внутриконтурных точках. Определение нормальных и касательных напряжений

Страницы работы

Содержание работы

Дано:

Материал - сталь Ст;

Числовые данные:

q=1,1 кН/м

l=2,2 м.

1.Разбиваем сетку с шагом λx = λy=0,733м    

     

 

2.Рассматриваем рамный аналог и строим зпюры M,N в стержнях контура рамы:

Звено АВ:

        VA= VB=(q*0,3l+2q*0,4l+q*0,3l)/2=0,7ql=0,7*1,1*2,2=1,694 кН;

        Проверка:

y=0  Va+ Vb-1,1*0,66-2,2*0,88-1,1*0,66=0

1,694+1,694-0,726-1,936-0,726=0

Участок АМ(0≤х≤0,66):

Q=1,694-1,1*х                       х=0 Q=1.694 кН;

                                                х=0,66 Q=0,968 кН;

М=-1,1*х2/2+1,694*х            х=0 M=0 кН*м;

                                                х=0,66 M=1,694*0,66-1,1*(0,66)2 /2=0,878кН*м;

Участок АN(0≤х≤0,88):

Q=1,694-1,1*0,66-2,2*х                  х=0 Q=0,968 кН;

                                                           х=0,88 Q=-0,968 кН;

 

М=-1,1*0,66*(х+0,33)+1,694*(х+0,66)-2,2*х*х/2

х=0 м                         М=0,878 кН*м;

х=0,88 м                     М=0,878 кН*м;

хмах=0,44 м                 М=1,1 кН*м;

х=0,063 м                   М=0,94 кН*м;

х=0,796 м                   М=0,94  кН*м; ;

 

 

Участок АN(0≤х≤0,66):

 

Q=-1,694+1,1*х                       х=0 Q=-1.694 кН;

                                                х=0,66 Q=-0,968 кН;

М=-1,1*х2/2+1,694*х            х=0 M=0 кН*м;

                                                х=0,66 M=1,694*0,66-1,1*(0,66)2 /2=0,878кН*м;

Звено ВС:

Vc= Vd=-(q*0,3l)/2=(4,62*0,733)/2=-1,694 кН;

Участок CK(0≤х≤0,733):

Q=-1,694кН                     

М=-1,694*х            х=0 M=0 кН*м;

                                х=0,733 M=-1,694*0,733=-1,24кН*м;

УчастоСL(0≤х≤0,733):

Q=-1,694+4,62*х                                       х=0 Q=1,694 кН;

                                                                    х=0,733 Q=1,694 кН;

М=-1,694*(х+0,733)+4,62*х*х/2             х=0 м                            М=-1,24 кН*м;

                                                                    х=0,733 м                     М=-1,24 кН*м;

                                                                    хмах=0,367 м                 М=-1,55 кН*м;

УчастоLD(0≤х≤0,733):

Q=1,694кН                     

М=-1,694*х            х=0 M=0 кН*м;

                                х=0,733 M=-1,694*0,733=-1,24кН*м;

                                                                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3Определим значения функции напряжений в контурных и законтурных точках:

φ5=0; φ6=0,94; φ7=0,94; φ8=0; φ14=0; φ13=1,24; φ12=1,24; φ11=0;

φ19= φ1 + 2λ∙N6= φ1;

φ35= φ1 + 2λ∙N16= φ1 + 2∙0,733∙(-1,694)= φ1 – 2,483;

φ20= φ2 + 2λ∙N7= φ2;

φ24= φ2 + 2λ∙N9= φ2 + 2∙0,733∙(-1,694)= φ2 – 2,483;

φ30= φ3 + 2λ∙N13= φ3;

φ34= φ3 + 2λ∙N14= φ3 + 2∙0,733∙(-1,694)= φ3 – 2,483;

φ29= φ4 + 2λ∙N12= φ4;

φ25= φ4 + 2λ∙N10= φ4 + 2∙0,733∙(-1,694)= φ4 – 2,483;

4. Составление системы уравнений для нахождения значений функции напряжений во внутриконтурных точках

Предварительно запишем уравнения для каждой точки:

Точка1

       20·φ1–8·(0,94+φ2+φ3)+2·(0,94+ φ4)+( φ1+1,24+ φ1–2,483)=0

 22·φ1–8·φ2–8·φ3+2·φ4–6,883=0    

Точка2

20·φ2–8·(0,94+φ4+φ1)+2·(0,94+ φ3)+( φ2+1,24+ φ2–2,483)=0

–8 ·φ1+22·φ2+2·φ3–8·φ4–6,883=0   

Точка3

20·φ3–8·(1,24+φ4+φ1)+2·(1,24+ φ2)+( φ3+0,94+ φ3–2,483)=0

–8 ·φ1+2·φ2+22·φ3–8·φ4–8,983=0   

Точка4

20·φ4–8·(1,24+φ2+φ3)+2·(1,24+ φ1)+( φ4+0,94+ φ4–2,483)=0

2 ·φ1–8·φ2–8·φ3+22·φ4–8,983=0 

 

Система уравнений примет следующий вид:

22·φ1–8·φ2–8·φ3+2·φ4–6,883=0

–8 ·φ1+22·φ2+2·φ3–8·φ4–6,883=0

–8 ·φ1+2·φ2+22·φ3–8·φ4–8,983=0

2 ·φ1–8·φ2–8·φ3+22·φ4–8,983=0   

  

5. Решение системы уравнений

Матрица коэффициентов

Столбец свободных членов

Тогда значения функции напряжений во внутриконтурных, контурных и законтурных точках будут следующими

φ1=0,939; φ2=0,939; φ3=1,044; φ4=1,044;  φ5=0; φ6=0,94; φ7=0,94; φ8=0; φ9=0; φ10=0; φ11=0; φ12=1,24;  φ13=1,24; φ14=0; φ15=0; φ16=0;

φ18=0; φ19= φ1 + 2λ∙N6= φ1 =0,939; φ20= φ2 + 2λ∙N7= φ2=0,939; φ21=0;

φ23= φ7 + 2λ∙N8= 0,94 + 2∙0,733∙(-1,694)= – 1,543;

φ24= φ2 + 2λ∙N9= 0,939 + 2∙0,733∙(-1,694)= – 1,544;

φ25= φ4 + 2λ∙N10= 1,044 + 2∙0,733∙(-1,694)= – 1,439;

φ26= φ12 + 2λ∙N11= 1,24 + 2∙0,733∙(-1,694)= – 1,243; φ28=0;

φ29= φ4 + 2λ∙N12= φ4=1,044;

φ30= φ3 + 2λ∙N13= φ3=1,044; φ31=0;

φ33= φ13 + 2λ∙N14= 1,24 + 2∙0,733∙(-1,694)= – 1,243;

φ34= φ3 + 2λ∙N14= 1,044 + 2∙0,733∙(-1,694)= -1,439;

φ35= φ1 + 2λ∙N16= 0,939 + 2∙0,733∙(-1,694)= -1,544;

φ36= φ6 + 2λ∙N5= 0,94 + 2∙0,733∙(-1,694)= – 1,543.

6. Определение нормальных и касательных напряжений

 Определение σX


 σХ 5= σХ 8=(φ18–2· φ5+ φ16)/λ2=0

σХ 6= σХ 7=(φ19–2· φ6+ φ1)/λ2=(0,939-2·0,94+0,939)/0,7332=-0,004

σХ 16= σХ 9=(φ5–2· φ16+ φ15)/λ2=0

σХ 1= σХ 2=(φ6–2· φ1+ φ3)/λ2=(0,94-2·0,939+1,044)/0,7332=0,197

σХ 15= σХ 10=(φ16–2· φ15+ φ14)/λ2=0

σХ 3= σХ 4=(φ1–2· φ3+ φ13)/λ2=(0,939-2·1,044+1,24)/0,7332=0,169

σХ 14= σХ 11=(φ15–2· φ14+ φ31)/λ2=0

σХ 13= σХ 12=(φ3–2· φ13+ φ30)/λ2=(1,044-2·1,24+1,044)/0,7332=-0,726

 

Определение σY

σY 5= σY 8=(φ6–2· φ5+ φ36)/λ2=(0,94-2·0-1,543)/0,7332=-1,122

σY 6= σY 7=(φ7–2· φ6+ φ5)/λ2=(0,94-2·0,94+0)/0,7332=-1,75

σY 16= σY 9=(φ1–2· φ16+ φ35)/λ2=(0,939-2·0-1,544)/0,7332=-1,126

σY 1= σY 2=(φ2–2· φ1+ φ16)/λ2=(0,939-2·0,939+0)/0,7332=-1,748

σY 15= σY 10=(φ3–2· φ15+ φ34)/λ2=(1,044-2·0-1,439)/0,7332=-0,735

σY 3= σY 4=(φ4–2· φ3+ φ15)/λ2=(1,044-2·1,044+0)/0,7332=-1,943

σY 14= σY 11=(φ13–2· φ14+ φ33)/λ2=(1,24-2·0-1,243)/0,7332=-0,006

σY 13= σY 12=(φ12–2· φ13+ φ14)/λ2=(1,24-2·1,24+0)/0,7332=-2,308

Определение τXY

τХY 16=-τХY 9 =(φ36 φ6+ φ3 φ34)/4λ2=(-1,543-0,94+1,044+1,439)/4·0,7332=

=0

τХY 1=-τХY 2 =(φ5 φ7+ φ4 φ15)/4λ2=(0-0,94+1,044-0)/ 4·0,7332 =0,048

τХY 15=-τХY 10 =(φ35 φ1+ φ13 φ33)/4λ2=(-1,544-0,939+1,24+1,243)/ 4·0,7332=

=0

τХY 3=-τХY 4 =(φ16 φ2+ φ12 φ14)/4λ2=(0-0,939+1,24-0)/ 4·0,7332=0,14

По полученным значениям строим эпюры σX , σY , τXY

Проверка равновесия элементов балки-стенки

Составляя суммы проекций сил на оси x и y, проверим равновесие левой части балки-стенки, отсеченной по линии 6-13, и верхней части по линии 16-9 соответственно.

Уравнения равновесия выполняются, следовательно, решение верно.

Похожие материалы

Информация о работе