Трудоемкость вычислений при использовании метода Ньютона во многом зависит от эффективности применяемых алгоритмов решения системы СЛАУ в операторе 3. если учитывать разреженность матрицы Якоби, то количество выполняемых арифметических операций N на одно решение системы (20) наиболее экономным методом составляет
N ≈ 2(n3/3 + 2n2), где n - порядок системы уравнений.
Главный недостаток метода Ньютона заключается в том, что сходимость к решению V* имеется не всегда, причем за ранее предсказать наличие или отсутствие сходимости не удается, так как условие сходимости метода Ньютона выражаются довольно сложно, и для их использования требуется чрезмерно большое время вычисления.
Важный фактор, влияющий на сходимость, связан, с тем, что не совпадения результата любой из итераций с точный решением V* объясняется принятием допущения (17), в соответствии с которым F(V) аппроксимируется линейной зависимостью. Поэтому, чем справедливее линеаризация, тем успешнее должен протекать итерационный процесс. Действительно, при решение СЛАУ достаточно одной итерации. Чем ближе Vк V*, то есть чем меньше окрестность точки V рассматривается, тем обоснованнее выглядит допущение (17). Следовательно, вероятность сходимости повышается, если исходная точка V0 выбирается ближе к точке V* .
Стремление повысить надежность метода Ньютона привело к появлению ряда модификаций, например следующих:
1. Выполнение итераций из разных исходных точек вплоть до завершение первой удачной попытки. Исходные точки могут выбираться случайно внутри некоторой достаточно широкой области, в которой по предположению находится точка V*.Факт отсутствия сходимости устанавливается либо пол возрастанию абсолютных величин ΔVот итерации к итерации, либо превышению количество выполненных итераций заранее заданного значения.
2. Совместное применение методов типа простых итераций и метода Ньютона. Медленные, но сходящиеся простые итерации приближают отображающую точку Vк V*. После некоторого запланированного числа простых итераций делается попытка достичь точки V* методом Ньютона. Если попытка неудачна продолжаются простые итерации. Таким образом, вдали от точки V* используется метод простых итераций, вблизи от точки V* – метод Ньютона.
3. Применение формулы V1+k = Vk – hЯk-1F(Vk). в которой в отличии от основной форму (19) фигурирует множитель h < 1. Направленное движение к V* в фазовом пространстве на очередной итерации то же, что и в основном методе Ньютона, но величина перемещения меньшая, что свидетельствует о более осторожной стратегии поиска решения V*. Это осторожность чаще всего и обусловливает вероятность сходимости. Однако в подобных алгоритмах вызывает затруднение выбора оптимального шага h.
4.
5. Метод измерения параметров, имеющий простую физическую
6. интерпретацию. Пусть решаемая система уравнений отражает состояние физической системы при наличии определенных внешних воздействий. В большинстве случаев для проектируемых систем выполняется условие V* = 0, если внешние воздействии также нулевые, причем с ростом внешних воздействий наблюдается рост и большинства переменных состояний vj. Поэтому если выбрать в качестве исходного приближения нулевой вектор переменных состояний V0 = 0 , то вероятность сходимости будет тем выше, чем меньше уровень входных воздействий. Это обстоятельство и с используется в алгоритме, в котором внешние воздействия увеличиваются сравнительно небольшими скачками, после каждого скачка выполняются ньтоновские итерации и получается некоторое приближенное решение V, принимаемое за исходную точку для итераций при следующем уровне внешних воздействий. Здесь решение системы уравнений производится столько раз, сколько было скачков от нулевого уровня до уровня, заданного условием задачи.
7. Во всех рассмотренных модификациях метода Ньютона повышение надежности достигается за счет роста объема вычислений по сравнению с основным методом Ньютона.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.