Колебания и волны. Примеры решения задач: Методические указания к решению задач по физике, страница 6

Выразив в формуле (64) собственную частоту колебаний через период   получим:

                                           (65)

Подставив в формулу (65) численные данные при  найдем:  В.

Ответ: , В.

З а д а ч а  9. В идеальном колебательном контуре с индуктивностью 100 мГн совершаются гармонические колебания с частотой 400 Гц. Найти емкость конденсатора и закон изменения силы тока в контуре, если в начальный момент времени сила тока была максимальной и равной 16 мА.

собственная частота;     

 – начальная фаза колебаний, которая определяется из закона (66) при  с в соответствии с начальным условием :

                      (68)

Подставив выражения (67) и (68) в закон (66), получим зависимость силы тока в рассматриваемом контуре от времени:

.                                             (69)

Емкость конденсатора найдем из выражения  полученного подстановкой в соотношение (67) формулы  для собственной частоты колебаний в контуре:  Отсюда  Ф.

Ответ: мА;

  мкФ.

4. СЛОЖЕНИЕ  ГАРМОНИЧЕСКИХ  КОЛЕБАНИЙ

4.1. Основные формулы и обозначения

При сложении гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, например, колебаний  и  удобно использовать метод векторных диаграмм. Каждое колебание изображается вектором на плоскости (например,  и ). Длина этого вектора равна амплитуде соответствующего колебания. Угол между вектором и              Рис. 5                       горизонтальной осью равен фазе соответствующего колебания в данный момент времени. Вектор  описывающий результирующее колебание, строится по правилам сложения векторов. Частота результирующего колебания  также равна  Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания определяются по диаграмме для начального момента времени (рис. 5) и вычисляются соответственно по формулам:

                                (70)

                                        (71)

При сложении гармонических взаимно перпендикулярных колебаний, совершаемых точкой в плоскости , например, колебаний

                                                 (72)

уравнение траектории движения содержит только переменные  и  но не содержит времени  Следовательно, уравнение траектории можно найти, если каким-либо образом исключить из формул (72) время, например, выразить  через  или .

Если при этом отношение частот (периодов)  является рациональной дробью (отношением целых чисел), то траектория оказывается замкнутой, а движение – периодическим.

4.2. Примеры решения задач

З а д а ч а  10. Построить векторную диаграмму в начальный момент времени при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одного направления. Найти графически и аналитически амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Записать закон результирующего колебания. Законы складываемых колебаний имеют вид:   где см; см;  с^-1;  

где

.                                           (74)

Тогда

.                            (75)

Подставляя в равенства (75) численные данные и учитывая формулу (74), получим:  см;   Отсюда °рад. Следовательно, закон результирующего колебания имеет вид:  где  см;  с^-1; рад.

Начертим векторную диаграмму сложения колебаний в начальный момент времени (рис. 6). Для этого в соответствии с правилами построения, изложенными в подразделе 4.1, сопоставим колебанию  вектор  длиной , который направим под углом  к горизонтальной оси , т. е. вертикально вверх; колебанию  сопоставим вектор  длиной , который  направим под углом  к горизонтальной оси , т. е. отложим его в направлении оси (см. рис. 6). Результирующее колебание будет описываться вектором  длиной  полученным по правилу параллелограмма сложением векторов  и  Угол, образованный вектором  и осью  равен начальной фазе  результирующего колебания